Ўзбекистон республикаси олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги фарғона политехника институти

Nazorat savollari
22-mavzu. Garmonik ta’sirlar orqali rostlash sifatini baholash.

Гармоник чизиқлантириш усули асослари

Ушбу умумий номланиш остида бир гуруҳ ночизиқли тизимларни таҳлил қилувчи тахминий услублар тўпланган бўлиб, улар гармоник мувозанат (эквивалент чизиқлантириш) қонунига асосланган.

Бу услуб устида Н.М.Крылов, Н.Н.Боголюбов, Е.П.Попов ва Л.С.Голдфарблар ишлашган. Бунда автотебранишларни ночизиқли тизимларда тахминий бўлса-да, аниқлаш учун автомат тизимларнинг чизиқли назариясидан фойдаланилади.

Фараз қилайлик, автомат тизим таркибида асосий сигнал ўтадиган занжирга кетма-кет қилиб уланган ночизиқли кучайтиргич - НЧК бор бўлсин. (1.14-расмга қаранг). Бундай ҳолда тизимнинг тузилиш (структура) схемасини К(р) узатиш функциясига эга бўлган чизиқли қисмдан ва φ(σ) тавсифга эга бўлган ночизиқли элемент - (НЧЭ) дан ташкил топган деб олиш мумкин (1.14-расм).

Энди қандайдир гармоник сигнални очиқ ночизиқли тизимдан ўтишини кўриб чиқайлик (1.15-расм).

Агар сигнал НЧЭ нинг киришида синусоида

σ=Asinωt (1.27)

шаклида бўлса, НЧЭ нинг чиқишида

х_НЧЭ=φ(σ)=φ(Asinωt) (1.28)

сигналга эга бўламиз.


1 -14а-расм.

1-14б-расм.

Функцич φ(Asinωt) даврий кўринишга эга бўлиб, у Фурье қаторига ёйиш мумкин.

(1.29)

1.15-расм

Агар ночизиқли элементнинг тавсифи симметрик бўлса, у ҳолда тоқ тавсифлар учун жуфт гармоникалар йўқ бўлиб, коэффициент В_k=0 дир. Шунга кўра тизимнинг чизиқли қисмига частотанинг барча спектрини ўз ичига олган сигнал таъсир этади. Суперпозиция қонунига бўйсунган ҳолда, ҳар бир гармоника тизимининг чизиқли қисмига, бошқаларидан мустасно ҳолда таъсир этади. Шундай қилиб, тизимнинг чиқишида ногармоник тебраниш юзага келади. Бу тебранишларнинг спектри худди ночизиқли элементниг чиқишдаги тебранишлар спектри чстоталари билан бир хил, аммо ҳар бир гармониканинг амплитудаси чизиқли қисмининг хсусиятларига боғлиқ бўлади ва К(jω_k) марта ўзгаради. Чизиқли қисмнинг амплитуда тавсифи ночизиқдидик туфайли юзага келган гармоникалар чизиқли қисмдан ўтиш жараёнида неча маротаба ўзгаришини аниқлаш имконини беради. Бунинг учун асосий гармониканинг частотасини белгиланган қиймати ω₁ да амплитуда-тавсифи (K(jω) нинг ординаталарини ω₁, 2ω₁ ва ҳокозо қийматларида кўриб чиқиш керак бўлади (1.16-расм).

А гар А^о₁ частотанинг қиймати ω₁ да катта гармоникадаги амплитудалар билан солиштириб бўлмайдиган даражада катта бўлса, у ҳолда тизим фильтр вазифасини бажариб, ночизиқлили туфайли юзага келган юқори гармоникаларни ўтказмайди.

Агар берк тизим автотеранишлар мавжуд бўлса, х_о=0 кириш сигналида тизимнинг контурида (1.16-расмга қаранг) автотебранишлар режими билан таъминловчи сигнал пайдо бўлади.
1.16-расм

Нозиқили системада автотебранишларни тахминан аниқлаш қуйидаги фаразларга кўра аниқланади: яъни ночизиқли элемент киришига гармоник сигнал киради, тизимнинг чизиқли қисми эса сўндиради. Бу эса ночизиқли тавсифни гармони чизиқлиантириш имконини беради ва тизимни чизиқли назария усули орқали гармоник чизиқлантирилган тенгламадан фойдаланиб тадқиқот қилиш мумкин.

Ночизиқли тавсифни гармоник чизиқлантириш учун ночизиқли элементни киришида гармоник сигнал берилиб турган ҳол учун чиқишидаги ўзгарувчи Фурье қаторига ёйилади. Кейин фақат биринчи гармоникадан ва чиқишидаги сигналлар ўртасида чизиқли аналитик боғлиқликка эга бўлинади.

Бир маъноли симметрик ночизиқли тавсифлар учун

Х_НЧЭ≈А₁­sinω₁t (1.30)

бу ерда

(1.31)

кўп маъноли симметрик ночизиқли тасифлар учун эса

Х_НЧЭ≈А₁­sinω₁t+Bcosω₁t (1.32)

бу ерда

(1.33)

(1.34)

Берк циклда ночизиқли тизм учун ночизиқли элементнинг киришдаги сигнал, чизиқли қисмининг чиқишдаги ўзгарувчига тенгдир (1.15-расмга қаранг) ёки бошқача қилиб айтганда, σ=х; А=А°₁ ; ω=ω шунинг учун х≈Asinωt; dx/dt=Aωcosωt.

Бунда

sinωt=x/A

cosωt=(1/ωA)(dx/dt) (1.35)

(1.35) ни (1.30) га қўйиб, инерциясиз бўғин учун чизиқли тенгламага эга бўламиз.

φ(х)=x_нчэ≈(А₁/А)х=q(A)x (1.36)

бу ерда q(А)= (А₁/А)-ночизиқли бўғиннинг гармоник кучайтириш коэффициенти.

Худди шундай усулда статизимли дифференциалловчи бўғин учун (1.23) ҳам чизиқли тенглама

(1.37)

ларни ёзишимиз мумкин.

Бу ерда q₁(А)=В₁/А -ночизиқли бўғиннинг тахминий тенгламасидаги ҳосилани аниқловчи гармоник кучайтириш коэффициентидир.

Шундай қилиб, киришдаги гармоник сигналга эга бўлган ночизиқли элементнинг чиқишдаги биринчи гармоникани кўриб чиқиш билан чегараланган ҳолда, берилган ночизиқли тенглама φ(α) ни (1.36) ёки (1.37) тенгламалар билан алмаштириш мумкин. Бундай ўзгартириш ночизиқли боғлиқликларни гармоник чизиқлантириш деб аталади. φ(α) нинг бир маъноли тавсифларини киришдаги сигнал ампилитудасига пропорционал бўлган ва оғиш бурчакка эга бўлган тўғри чизиқлар билан алмаштириш мумкин.

Бунда оғиш бурчаги фақатгина биринчи гармониканинг амплитудасини тавсифлаши мумкин. φ(α) тавсифнинг гармоник чизиқлантириш нурини оғиш бурчагини аниқловчи коэффициент киришдаги сигнал амплитудаси А га боғлиқдир, А турлича бўлганда нурлар ҳар хил бўлади.

Гармоник чизиқлантирилган ўта чизиқли бўғинга эга бўлинмайди (кичик оғишлар усулида чизиқлантирилгани каби), балки кучайтириш коэффициенти q (А) кириш сигналининг амплитудаси А га боғлиқ бўлган, ўзгача чизиқли бўғинга эришилади, Гармоник чизиқлантиришда ночизиқли бўғинларнинг ушбу ўта муҳим хусусиятларини q(A) ва q₁(А) коэффициентларда сақлаб қолиш шунчалик жиддий ҳолатки, у ёрдамида чизиқли назария

1.17-расм

усулларини қўллаб туриб ночизиқли тизимларни хусусиятларини аниқлаш мумкин.

(1.36) ва (1.37) ифодаларни оператор кўринишида қуйидагича

ёзиш мумкин ҳамда гармоник тебранишли жараёндаги гармоник чизиқлантирилган ночизиқли бўғиннинг узатиш функциясини олиш мумкин:

N(P,A) =X_нчэ(P)/X(P)=q(A) (1.38)

N(P,A)=X_нчэ (P)/X(P)=q(A)+q₁(A)P/ω (139)

Агар бордию, айрим юқори гармоникаларнинг таъсири сезиларли: бўлса ва Фурье қаторининг биринчи аъзолари билан чегараланиб бўлмаса, у ҳолда [4]да кўрсатилганидек, (1.38) ва (1.39) ифодаларни аниқлаб олиш зарур бўлади.

Шундай қилиб, чизиқли назариянинг маълум қоидаларидан фойдаланиб туриб, очиқ тизимнинг узатиш функциясини (1.15-расмга қаранг) ёзиш мумкин:

K_N(P,A)=K(P)N(P,A) (1.40)

Комплекс кучайтириш коэффициенти N(Р,А) киришдаги гармоник сигналнинг амплитудаси А га боғлиқ бўганлиги боис, частота тавсифи K_N(jω,A) ҳам частота ω га, ҳам кириш сигналининг амплитудаси А га боғлиқ бўлади. 1.18 а – расмда амплитуданинг турли хил қийматлари учун А', A" ва А'") частота тавсифлари келтирилган.

1.18-расм

Ночизиқли тизимни тадқиқот қилиш учун K_N(jω,A) эгри чизиқлардан бир нечтасини қурмоқ керак.

1,j0) нуқтадан ўтадиган эгри чизиқ Найквист мезони бўйича тизим автотебранишининг частотаси ω₁ ни ва амплитудаси А°₁ ни аниқлайди.

Худди шундай қилиб, (1.40) дан фойдаланган ҳолда, логарифмик частота тавсифларини кўриш мумкин:
(1.41)
Чегаравий ҳолатга мос келувчи логарифмик тавсифлар чиқишдаги ўзгарувчининг частотаси ω₁ ва амплитудаси А°1 ни билдиради (1.18б– расм). Бунда (1.38) ва (1.39) бўйича ночизиқли эллементларнинг эквивалент логарифмик частотаси тавсифларини қуриш мумкин.

Очиқ тизимларнинг Р ни jω га алмаштириш натижасида олинган частота функцияларидан фойдаланилган ҳолда, берк тизимнинг амплитудаси ва частотасини топиш мумкин. Бунинг учун K_N(jω,A) дан модулни аниқлаб, уни бирга тенглаштириш керак, аргументни эса – π га тенг деб олиш лозим бўлади:

(1.42)

(1.42) дан А ва ω ни топиш мумкин. Агар топилган А⁰₁ ва ω₁ қийматлар ҳақиқий ва мусбат ишорали бўлса, автотебранишлар бўлиши мумкин, акс ҳолда уларни бўлиши мумкин эмас.

Берк ночизиқли автоматик тизим учун, (1.40) га асосланган ҳолда, гармоник чизиқлантирилган тавсифли тенглама

(1.43)

кўринишда ёзилиши миумкин.

(1.43) нчи чизиқли тенглама, гармоник чизиқлантириш усули билан, ночизиқли тизимлардаги автотебранишларни тахминий тадқиқот қилиш учун автоматик бошқаришнинг чизиқли назариясини барча маълум усулларини қўллаш имкониятини беради. Л.С.Гольдфарбнинг ва Е.П.Поповнинг усуллари кўпроқ қўлланилади. Улардан фойдаланишда, биринчи навбатда, берилган ночизиқли тавсиф учун М(Р,А) ифодани топиш керак бўлади. Агар ночизиқли тавсиф бир маъноли ва симметрик бўлса, НЧЭ эса индуктивлик, сиғим ва бошқа инерциалиликни ташкил этувчи элементлардан ташкил топган бўлса, у ҳолда K_N(jω,A) одатда фақатгина А га боғлиқ, фаза эса нолга тенг, яъни функция N(A)=q(A) ҳақиқий бўлади.
1.6§ Л.С.Гольдфарб усули
Гармоник чизиқлантирилган чизиқли тизимнинг (1.43) тавсифли тенгламаси автотебранишларни аниқлаш учун қўлланилиши мумкин. Л.С.Гольдфарб (1.43) кўринишдаги тенгламаларни K(jω) ва N^–1(А) каби тавсифлар ёрдамида графо–аналитик усул билан қуриш йўлини киритган. Бу тавсифларнинг комплекс текисликда ўзаро жойлашишлари ҳам таҳлил қилинади. Ушбу ҳолатда ночизиқли элементнинг комплекс коэффициенти частотага боғлиқ эмас деб қабул қилиниб олинади. Бу мухит фақатгина кўрсатилган типдаги ночизиқлилик билан тавсифланадиган тизимлар учунгина қўллашни чегаралайди. Аммо бунга ўхшаш ночизиқлилик амалда кўп учрайди.

Р ни jω га алмаштириб, (1.43) тенгламани қуйидаги кўринишда ёзиш мумкин:

K(jω)N(A)=-1 (1.44)

(1.44) га асосан

K(jω)=N^-1(A) (1.45)

ёки

N(A)=-K^-1(jω). (1.46)
Келтирилган ифодалардан қайси бири қўлланилишига қараб ёки тизимнинг чизиқли қисмини амплитуда фаза тавсифи К(jω)ни ва манфий ишорали тескари эквивалент тавсифи N^–1(А)ни қуриш керак бўлади ёки тизимнинг чизиқли қисмини манфий тескари амплитуда фаза тавсифини – K^–1(jω) ва НЧЭ нинг гармоник чизиқлантирилган эквивалент тавсифи М(А) ни қуриш лозим.

Айтганларни (1.45) ифодага қўллаб туриб Л.С. Гольдфарб усулининг моҳиятини кўриб чиқамиз. Агар K(jω) ва N^–1(А/а) эгри чизиқларни координата ўқлари бўйича бир хил масштабларда координата тизимига қурадиган бўлсак, уларни кесишиш ва кесишмаслигига қараб туриб автотебранишлар борми ёки йўқми хулоса қилиш мумкин (1.19а–расм).

1.19 расм
N(А/а) ночизиқни қуришда қулай бўлиши учун нисбий бирликдан фойдаланилса, ҳар иккала эгри чизиқларнинг ҳам масштабларини мослаштириш мумкин. Эгри чизиқларни кесишиш нуқталари (1.43) тенгламанинг ечимига мос келади ва тизимда автотебранишлар борлигини аниқлайди (1–ҳолат). Агар эгри чизиқлар кесишмаса (II–ҳолат) (1.43) тенглама ечимга эга эмас ва автотебранишларнинг бўлиши мумкин эмас. Бордию, эгри чизиқлар уриниб ўтиш нуқтасига эга бўлишса, у ҳолда тизим параметрлари чегаравий ҳолатни (III – ҳолат) билдиради.

Айрим ҳолларда бу эгри чизиқлар ўзаро икки ва ундан ортиқ нуқталарда кесишиб ўтишлари мумкин (1.19б–рсм).

Шуни таъкидлаш керакки, бир маъноли симметрик ночизиқли тавсифлар учун – N^–1(А/а) эгри чизиқ (1.19в–расмга қаранг) ҳақиқий ўқ билан устма–уст тушади, чунки бу ҳолатда мавҳум ташкил этувчига эга эмас.

Автотебранишларнинг катталаштирилган амплитудаларида барқарор ёки беқарор эканликлари ҳақида (тавсифлар кесишган нуқта қийматлари билан солиштирилганда) хулосани қуйидагича қилинади: агар ночизиқли элементнинг эгри чизиғидаги катталаштирилган амплитудадаги мос келувчи нуқтаси тизимнинг чизиқли қисмини K(jω) тавсифи билан қамраб олинмаса, тебранишлар барқарор бўлади, бордию қамраб олинса, тебранишлар беқарордир.

Юқорида келтирилган қоидаларга кўра 1.196 ва в–расмдаги М₂ нуқта барқарорликни, М₁ нуқта эса беқарор автотебранишларни билдиради. М₂ нуқтада автотебранишларни А⁰₁ амплитуда (НЧЭ эгри чизиғидан) ва частотаси ω₁ чизиқли қисмини амплитуда – фаза тавсифи (АФТ) дан аниқланади.

Л.С.Гольдфарб усули айрим ҳолларда қўлланилмайди. Буларга қуйидагилар киради:

• 
  тизим икки ва ундан ортиқ ўзгарувчиларга эга бўлганда, ночизиқли функция ишораси остидаги ночизиқли элементлардан ташкил топган бўлса;
  
• 
  агар тизимда мавжуд бўлган бир неча ночизиқли элементни ягона эквивалент бўғин билан алмаштиришнинг имкони бўлмаса.
  

Бу усул, назарияда маълум бўлган чизиқли услубларни, ночизиқли тизимларда автотебранишларни юзага келтириш ёки уларни бартараф қилиш мақсадида чизиқли қисмини коррекциялашда қўллаш имконини беради. Бунда тизимнинг чизиқли қисми ҳам беқарор бўлиши мумкин.
1.7 § Е.П.Попов усули
Попов усули (1.43) кўринишдаги гармоник чизиқлантирилган берк тизимларнинг тавсифий тенгламаларини аналитик усулда ечишга асосланган.

Бунда автотебранишларнинг амплитудасини ва частотасини тизим параметрларига бевосита боғлиқлигини аниқловчи формулалар топилади. Е. П. Попов усули ночизиқлиликка эга бўлган ночизиқли тизимларни ва ω га боғлиқ бўлган эквивалент тавсифи N(jω,А)ларни тадқиқот қилиш имкониятини беради. Ундан ташқари ушбу услуб чизиқли инерцияли бўғинлар билан ажратилган, бир неча ночизиқлиликка эга бўлган НЧАТ ларни тадқиқот қилишга қулай.

(1.43)ни К(р) ифодани ҳисобга олган ҳолда ёзамиз:
(1.47)
бирмунча мураккаб ҳолларда, масалан, иккита ночизиқли элемент бор бўлганда (1.47) таркибида N₁(P,A) ва N₂(Р,А) бўлади.