Ўзбекистон Республикаси Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги Қарши давлат университети

2.ТЕКИСЛИКЛАРНИНГ 

ПАРАЛЛЕЛИГИ 

ВА 

ПЕРПЕНДИКУЛЯРЛИГИ  

    Фазода       

0

1

1

1

1









D

z

С

у

В

х

А

 

                                   

0

2

2

2

2









D

z

С

у

В

х

А

                              (3) 

Тенгламалар билан текисликлар берилган бўлсин. Бу икки текислик параллел 

бўлиши учун  

                                    

2

1

2

1

2

1

С

С

В

В

А

А





                                               (*) 

шарт бажарилиш зарур ва етарли.  

 

50 

         Юқоридаги икки текислик ўзаро перпендикуляр бўлиши учун  

                               

0

2

1

2

1

2

1







С

С

В

В

А

А

                            (**) 

шарт бажарилиш зарур ва етарли. 

     Мисол:   

0

2







сz

у

х

  текислик  с  нинг    қандай  қийматларда  4х 

0

2







z

 

текислик билан параллел ва перпендикуляр бўлади.  

1

2

1

4

2

с





 шартга кўра 

2

1



с

да параллел бўлади.  

0

1

с

2

 

1

4

2













  шартга асосан с=-10 текисликлар перпендикуляр бўлади.  

3.ИККИ ТЕКИСЛИК ОРАСИДАГИ БУРЧАК  

              Умумий тенгламалари  

0

1

1

1

1









D

z

С

у

В

х

А

 

0

2

2

2

2









D

z

С

у

В

х

А

 

билан берилган Т

1

 ва Т

2

 текисликлар берилган бўлсин.  

          Икки  текислик  орасидаги 



    бурчак  дейилганда бу  текисликлар билан 

ҳосил  қилинган  иккита  икки  ёқли  бурчакдан  бири  тушунилади  Т

1

  ва  Т

2 

текисликлар фазода хар қандай жойлашганда ҳам улар  орасидаги 



    бурчак 

бири 





1

1

1

1

,

,

C

B

A

n





  ва 





2

2

2

2

,

,

C

B

A

n





    нормалвекторлар  орасидаги  бурчакка 

тенг. Шу сабабли  

 

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

cos

C

B

A

C

B

A

C

C

B

B

A

A

n

n

n

n

































   

 

 

(4) 

(4)  формула  икки  текислик  орасидаги  бурчакни  топиш  формуласи.  

         Мисол: 

0

1

2









z

у

х

  ва 

0

1

2









z

у

х

  текисликлар  орасидаги 

бурчакни топинг.  

         (4) формулага асисан  

 

 

 

2

1

2

2

2

1

2

1

1

2

1

1

1

2

2

1

1

cos

2

2

2

2







































 

        Икки  ёқли  бурчаклардан  бири 

0

120





,  иккинчиси  60

0

  фазода  уч  нуқта 









,

,

,

         

,

,

,

2

2

2

1

1

1

z

у

х

B

z

у

х

А

    ва 





,

,

,

3

3

3

z

у

х

C

 

нуқталар  берилган  бўлсин.  Бу  уч 

нуқта  бирор  текисликка  тегишили  бўлса,  у  ҳолда  бу  текислик  тенгламаси 

ушбу

  

 

 

 

 

 

 

0

1

3

1

3

1

3

1

2

1

2

1

2

1

1

1





















z

z

у

у

х

х

z

z

у

у

х

х

z

z

у

у

х

х

 

 

(5) 

Кўринишда  бўлади.  (5)  тенглама  берилган  нуқталарнинг  координаталарини 

қаноатлантиради.  

51 

11-МАВЗУ: ФАЗОДА ТЎҒРИ ЧИЗИҚ ТЕНГЛАМАСИ. ФАЗОДА 

ТЕКИСЛИК ВА ТЎҒРИ ЧИЗИҚҚА ОИД МАСАЛАЛАР  

 

1.ФАЗОДА ТЎҒРИ ЧИЗИҚ ТЕНГЛАМАСИ  

       Декарт координаталар системасида  

0

1

1

1

1









D

z

С

у

В

х

А

 

0

2

2

2

2









D

z

С

у

В

х

А

 

Тенгламалар  билан  аниқланадиган  Т

1

  ва  Т

2 

текисликлар  берилган  бўлсин. 

Қаралаётган бу  текисликлар  ўзаро параллел  бўлмасин.  Бу  ҳолда  улар  бирор 

тўғри чизиқ бўйича кесишади. Бу тўғри чизиқни ушбу   

   

    























0

0

2

2

2

2

1

1

1

1

D

z

С

у

В

х

А

D

z

С

у

В

х

А

   

 

 

(1) 

 

Системанинг ечимлари тўпламидан иборат деб қараш мумкин. 

Т

1

  ва  Т

2 

текисликлар ўзаро параллел бўлмаган учун 

2

1

2

1

2

1

С

С

В

В

А

А





  тенгликлар 

бир  вақтда  бажарилмайди.  Фараз  қилайлик   

2

1

2

1

В

В

А

А



  бўлсин.  (1)  система 

чексиз  кўп  ечимга  эга.  Z

0

  қатнашган  ва  озод  ҳадларни  тенгликни  иккинчи 

томонига ўтказамиз ва (1) системани:   

  

 

                           























0

0

2

2

2

2

1

1

1

1

D

z

С

у

В

х

А

D

z

С

у

В

х

А

 

 

 

 

(2) 

кўринишда  ифодалаймиз. 

2

1

2

1

В

В

А

А



  муносабатини  эътиборга  олиб  (2) 

системани х ва у га нисатан ечамиз.  

,

B

   

B

   

B

   

B

   

у

     

          

,

B

   

B

   

B

   

B

   

2

2

1

1

2

0

2

2

1

0

1

1

2

2

1

1

2

0

2

2

1

0

1

1

A

A

z

C

D

z

C

D

A

A

z

C

D

z

C

D

х





















 

 

Z

0

 га мос ечимларни х

0

 ва у

0

 орқали белгилаймиз. (1) системанинг (х

0

, у

0

, z

0

) 

ечимини  топдик.  Қаралаёиган  тўғри  чизиқда  М  (х

0

,  у

0, 

z

0

)  нуқта  билан  бир 

қаторда ихтиёрий Р (х, у, z) нуқта олайлик. Бу нуқтанинг координаталари Т

1

 

ва Т

2

 текислик тенгламаларини қаноатлантиради.    

52 

                           























0

0

2

0

2

0

2

0

2

1

0

1

0

1

0

1

D

z

С

у

В

х

А

D

z

С

у

В

х

А

                       























0

0

2

2

2

2

1

1

1

1

D

z

С

у

В

х

А

D

z

С

у

В

х

А

 

Бу  системадан  қуйидаги  системани   





0

х

х



  ва 





0

у

у



  га  нисбатан  ечиб 

топамиз.  









0

2

2

1

1

2

2

1

1

0

0

2

2

1

1

2

2

2

1

0

  

  

A

  

A

  

y

-

y

         

          

          

          

,

  

  

С

  

  

z

z

В

А

В

А

C

C

z

z

В

А

В

А

В

В

В

х

х











 

 Бу  тенгликлардан  М  (х

0

,  у

0, 

z

0

)  ва    Р(х,  у,  z)  нуқталардан  ўтувчи  қуйидаги 

тўғри чизиқ тенгламасига эга бўламиз.  

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

B

  

B

  

А

  

А

  

С

  

С

  

A

A

z

z

С

С

у

у

В

В

х

х











 

бу ерда  

,

B

   

B

   

B

   

B

   

у

     

          

,

B

   

B

   

B

   

B

   

2

2

1

1

2

0

2

2

1

0

1

1

0

2

2

1

1

2

0

2

2

1

0

1

1

0

A

A

z

C

D

z

C

D

A

A

z

C

D

z

C

D

х





















 

Ушбу  

 

,

   

B

   

    

          

          

,

   

   

     

          

          

,

   

   

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

n

B

A

A

m

C

B

C

B

C

B

C

B









 

Белгилашлар киритсак охирги тенглик  

                                      

n

z

z

m

y

y

x

x

0

0

0













                           (3)  

кўринишга  келади.  (5)    тенглама  тўғри  чизиқнинг  калоник  тенгламаси 

дейилади.  

 

Агар (5) 

Тенгламада  

 

                                 





R

t

      

          

0

0

0















t

n

z

z

m

y

y

x

x



 

деб олсак  























nt

z

z

mt

y

y

t

x

x

0

0

0



 

Тенгламалар системаси ҳосил бўлади. Уни тўғри чизиқнинг параметрин 

тенгламаси дейилади. t-параметр.  

 

53 

2.ФАЗОДА ТЎҒРИ ЧИЗИҚ ВА ТЕКИСЛИККА ОИД МАСАЛАЛАР 

 

1

0

.  нуқтадан  текисликкача  масофани  топиш.  Фазода 

0









D

Сz

Ву

Ах

  Т 

текислик ва бу текисилда ётувчи Р(х

0

, у

0

, z

0

) нуқтани олайлик. Р нуқтадан Т 

текисликка перпендикуляр  текислик ўтказамиз. Перпендикуляр узунлиги бу 

нуқтадан  Т  текисликкача  масофани  билдиради.  Бу  масофани  қуйидаги  

 

   

 

 

 

2

2

2

0

0

0

C

B

A

D

Сz

Ву

Ах

р













   

 

(4) 

формула билан топилади.  

 

Мисол:  Р  (0,  0,  0,)  нуқтадан 

1

4

3

2







z

у

х

    текисликкача  бўлган 

масофани  топинг.  Берилган  текислик  тенгламасини 

0

12

3

4

6









z

у

х

 

кўринишда ёзиб оламиз. (4) формулага кўра  

 

   

 

 

 

61

12

9

16

36

12

0

3

0

4

0

6





















р

 

демак,      

 

 

 

61

12



р

  

 

2

0

. Фазода икки нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси. Фазода  

А (х

1

, у

1

, z

1

) ва В (х

1

, у

1

, z

1

)  нуқталардан ўтувчи бирор тўғри чизиқ берилган 

бўлсин.  

Бу чизиқа ихтиёрий С (х

1

, у

1

, z

1

) нуқта оламиз. (18-чизма).  

  

 

     

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18-чизма  

А, В, С нуқталар бир тўғри чизиқда ётганлиги сабабли уларнинг оху 

текисликдаги проекцичлари бўлган А

1

, В

1

, С

1

, нуқталар хар бир тўғри 

чизиқда ётади. Бундан эса  

0

у

-

у

      

у

-

у

      

1

1

2

1

1







х

х

х

х

  ёки   

1

2

1

1

2

1

у

у

у

у

х

х

х

х











 

54 

Муносабатга  эга  бўламиз.  А,  В,  С  нуқталарнинг  оуz,  охz    текисликлардаги 

проекциялари учун ҳам мос равишда  

 

    

          

,

1

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

z

z

z

z

x

x

x

x

z

z

z

z

у

у

у

у





















 

Тенгликлар  ўринлидир.  Ҳосил  бўлган  тенгликларнинг  бир  вақтда 

бажарилишини эътиборга олиб топамиз.      

   

          

,

  

1

2

1

1

2

1

1

2

1

z

z

z

z

у

у

у

у

x

x

x

x

















 

 Бу фазода берилган икки нуқтадан ўтувчи тўғри чизиқ тенгламасидир.  

           3

0

.  Тўғри  чизиқ  ва  текисликнинг  параллелик  ва  перпендикулярлик 

аломати.  

                         Бизга                       

n

z

z

m

y

y

x

x

0

0

0













    тенглама  билан 

аниқланадиган     

тўғри чизиқ ҳамда 

0









D

Сz

Ву

Ах

          текислик  берилган  бўлсин.бу  тўғри 

чизиқ ва текисликнинг ўзаро параллел бўлиши учун  

0







Cn

Bm

AI

 

Тенгламани бажарилиши зарур ва етарли.  

            4

0

. Фазода икки тўғри чизиқнинг параллел ва перпендикуляр шарти.  

 

Ушбу       

,

     

          

,

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

n

z

z

m

y

y

x

x

n

z

z

m

y

y

x

x

























 

Тўғри чизиқлар берилган бўлсин. Бу тўғри чизиқларнинг параллеллик шарти 

1

2

1

2

1

2

n

n

m

m









  тенгликнинг  бажарилишидан  перпендикулярлик  шарти  эса 

0

2

1

2

1

2

1







n

n

m

m





 тенгликнинг бажарилишидан иборат.  

                  Ўзаро  параллел  тўғри  чизиқлардан  ўтувчи  текислик  тенгламаси 

ушбу  

0

n

         

m

         

  

z

-

z

    

у

-

у

    

z

-

z

    

у

-

у

    

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

1









х

х

х

х

 

Кўринишга эга бўлади. Агар икки тўғри чизиқ Р (х

0

, у

0

, z

0

) нуқтада кесишса, 

бу тўғри чизиқлар орқали утувчи текислик тенгламаси ушбу  

0

n

        

m

         

   

n

        

m

         

   

z

-

z

   

у

-

у

     

2

2

2

1

1

1

1

1

1









х

х

 кўринишда бўлади.  

            5

0

. нуқтадан тўғри чизиққа перпендикуляр текислик ўтказиш  

                   

55 

Фазода    Р  (х,  у,  z)  нуқта  ва   

n

z

z

m

y

y

x

x

0

0

0













      тенгликлар  билан 

аниқланган тўғри чизиқ берилган бўлсин.  

                  Р  нуқтадан  ўтувчи  тўғри  чизиққа  перпендикуляр  бўлган  текислик 

тенгламаси  







 



0

1

1

1













z

z

n

y

y

m

х

х



 

Кўринишда бўлади.  

                   6

0

. Нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофа Р (х

0

, у

0

, z

0

) нуқтадан 

n

z

z

m

y

y

x

x

0

0

0













 тўғри чизиққача бўлган р масофа 

         Шубу 

2

2

2

2

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

2

n

   

          

        

 

     

z

-

z

 

n

   

          

        

 

z

-

z

     

у

у

 

m

   

          

        

у

у

      

n

m

m

х

х

m

х

х

р























    

Формула ёрдамида топилади.