Ўзбекистон Республикаси Олий ва ўрта махсус таълим вазирлиги Қарши давлат университети

33 

 Худди шундай фазода ҳам кесманинг   



  нисбатда бўлиш мумкин. Унда  

,

1

       

,

1

        

,

1

2

2

2































z

z

z

у

у

у

х

х

х

 ўринлидир.  

 

1. 

 

в

а,

    

aв

          

в

     

,

q

q

з

q

z

p

a









 

 

2. i, j, k  векторлар кўпайтмаси.  

 

3. 

 

k

j

i

в

       

          

2

в

    

          

,

4

3

x

2

z

у

х

z

y

в

в

в

a

a

a

a

k

y

i

k

j

i

а















  

 

7- МВАЗУ: ЧИЗИҚЛИ ТЕНГЛАМАЛР СИСТЕМАСИ КРАМЕР  

КОИДАСИ  

 

1. ИККИ ВА УЧ НОМАЪЛУМЛИ ЧИЗИҚЛИ ТЕНГЛАМАЛАР  

СИСТЕМАСИ  

КРАМЕР ҚОИДАСИ  

 

                  Иккита х

1

 ва х

2

 номаълумли чизиқли тенгламалардан иборат ушбу 

 

 

1

     

          

          

          

          

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11















в

х

а

х

а

в

х

а

х

а

 

Система 

икки 

ноъмалумли 

тенгламалр 

системаси 

деб 

аталади, 

 

1

-

       

,

      

,

     

,

      

,

22

21

12

11

а

а

а

а

  системасининг  коэффицентлари, в

1

, в

2

-    берилган 

сонлардир.  

 

Агар  (1)  системадаги  х

1

  нинг  ўрнига 

0

1

х

    сони,  х

2

  нинг  урнига 

0

2

х

сонни қуйганда тенгламаларнинг ҳар бири айниятга айланса, унда  (

0

1

х

,

0

2

х

) 

жуфтли (1) тенгламалар системасининг ечими дейилади.  

 

(1)  системани  ўрганишда  бу  системанинг  коэффицентларидан 

тузилган.  

 

2

         

          

          

21

12

22

11

22

21

12

11

а

а

а

а

а

а

а

а









 

Детеминантнинг  ҳамда  бу  детерминантнинг  биринчи  ва  иккинчи 

устунларини мос равишда озд ҳадлар билан алмаштирилган ушбу  

 

3

        

          

          

21

12

22

11

22

21

12

11

в

а

а

в

а

в

а

в

х









 

34 

 

4

  

          

          

          

          

21

12

22

11

22

21

12

11

а

в

в

а

в

а

в

а

х









   

 

детерминантлар муҳим аҳим аҳамиятга эга.  

       (1)  тенгламалар  системаси  ечиш  учун  аввало  бу  системанинг  биринчи 

тенгламасини а

22

 га кўпайтириб, иккинчи тенгламасини эса а

12

га кўпайтириб 

кейин ҳадлаб  

















































2

12

12

1

22

1

21

12

22

11

1

22

2

22

12

1

22

11

1

22

2

22

12

1

22

11

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

 

 

 

 

 

 

 

 

в

а

а

в

а

х

а

а

а

а

в

а

х

а

а

х

а

а

в

а

х

а

а

х

а

а

в

х

а

х

а

в

х

а

х

а

 

 бўлишини  топамиз.  Сўнгра  (1)  системанинг  биринчи  тенгламасини  а

21

га 

иккинчи тенгламасини а

11

 га  кўпайтириб кейин ҳадлаб қўшамиз.  















































1

21

2

11

2

21

12

22

11

2

11

2

22

11

1

12

11

1

22

2

21

12

1

21

11

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

 

 

 

 

 

 

 

 

в

а

в

а

х

а

а

а

а

в

а

х

а

а

х

а

а

а

в

х

а

а

х

а

а

в

х

а

х

а

в

х

а

х

а

 

бўлишини топамиз. Натижада (1) системага тенг кучли бўлган ушбу  





2

12

22

1

1

21

12

22

11

в

а

а

в

х

а

а

а

а







 





2

21

11

2

2

21

12

22

11

в

а

а

в

х

а

а

а

а







 

системага келамиз. Бу система (2), (3) ва (4) муносабатларда ҳисобга олганда 

қуйидагича ёзилади:  

 

 

1

  

          

          

          

          

          

          

2

2

1

1























х

х

х

х

  

(1) системанинг ечими 

2

1

х

   

ва

   

,

х

 

,







 ларга боғлиқ.  

 

1

0

. 

0





 бўлсин. Бу ҳолда (1) системадан  

               

 

5

   

          

          

          

,

          

,

2

2

1

1













х

х

х

х

 

Бўлишини топамиз. Бу топилган х

1

 ва х

2

 лар (1) тенгламанинг ечими бўлади. 

(1)  системанинг  ечимини  топишнинг  бу  усули  крамер  усули  дейилади.  (5) 

формула крамер формуласи дейилади.   

    2

0

. 

0





   бўлиб 

1

х



 ва 

2

х



  лардан ҳеч бўлмаганда биттаси, нолдан фарқли 

бўлсин.  Бунда  (1)  система  ечимга  эга  бўлмайди.  Бу  ҳолда  91)  бирликда 

бўлмаган система дейилади.  

    3

0

. 

,

0

 

ва

   

,

0

      

,

0

2

1













х

х

     бўлсин. Бу холда (1) система ёки чексиз кўп 

ечимга эга бўлади ёки ечимига эга бўлмайди. Шунинг учун система бу ҳолда 

ноаниқ дейилади.  

   Энди уч номаълумли чисиқли тенгламалар системасини қарайлик.  Учта х

1

, 

х

2

, х

3 

Номаълумли чизиқли тенгламалардан иборат ушбу  

 

 

6

    

          

          

          

          

3

3

33

2

32

1

31

2

3

23

2

22

1

21

1

3

13

2

12

1

11





























в

х

а

х

а

х

а

в

х

а

х

а

х

а

в

х

а

х

а

х

а

 

Система 

уч 

номаълумли 

тенгламалар 

системаси 

дейилади. 

,

,

,

,

,

,

,

,

33

32

31

22

21

13

12

11

а

а

а

а

а

а

а

а

-система 

коэффицентлари, 

,

,

,

3

2

1

в

в

в

 

берилган 

сонлардир. 

(6) 

система 

учун 

Крамер 

қоидасини 

қуллаймиз.  

 

Бунинг учун  

 

7

     

          

          

          

33

32

31

23

22

21

13

12

11

а

а

а

а

а

а

а

а

а





   

Системани детерминантидир.  

 

,

,

,

3

2

1

х

х

х







  лар қуйидагича  

  

,

         

          

,

       

          

,

3

32

31

2

22

21

1

12

11

3

33

3

31

23

2

21

13

1

11

2

33

32

3

23

22

2

13

12

1

1

в

а

а

в

а

а

в

а

а

х

а

в

а

а

в

а

а

в

а

х

а

а

в

а

а

в

а

а

в

х













 

бўлади.  

У ҳолда (в) системага тенг кучли бўлган ушбу  

 

 

6

  

          

          

          

          

          

          

3

3

2

2

1

1



































х

х

х

х

х

х

 

системага келамиз.  

              1

0

. 

0





 бўлсин. Бу ҳолда (6) системадан   

 

                            

 

8

    

          

          

,

    

          

,

          

,

3

3

2

2

1

1



















х

х

х

х

х

х

 

 Бўлишини топамиз. 





,

,

,

3

2

1

х

х

х

 (6) системанинг ягона ечими бўлади. (8) 

формула крамер формуласи дейилади.  

 

2

0

. 

0





 бўлиб, 

0

3

2

1













х

х

х

  бўлсин. Бу ҳолда (6) система ноаниқ 

система дейилади.  

 

Энди учунчи тартибли чизиқли тенгламалар системасини матрица 

орқали ечишни кўрайлик.  

 

(6) система берилган бўлсин. Берилган системанинг 

коэффицентларидан 

,

,

,

3

2

1

х

х

х

 лардан ҳам озод ҳадларидан ушбу  

3

2

1

3

2

1

33

32

31

23

22

21

13

12

11

В

    

          

,

Х

          

,

в

в

в

х

х

х

а

а

а

а

а

а

а

а

а

А







 

Матрица тузамиз.  

3

33

2

32

3

31

3

23

2

22

2

21

3

13

2

12

1

11

3

2

1

33

32

31

23

22

21

13

12

11

 

 

 

х

а

х

а

х

а

х

а

х

а

х

а

х

а

х

а

х

а

х

х

х

а

а

а

а

а

а

а

а

а

Х

А





















 

36 

 

11

6

        

          

          

          

В

Х

А





 

Кўринишда ёзиш имконини беради.  

 

 

11

6

 тенглама (6) системанинг матрица кўриниш дейилади. 

 

Айтайлик  (6)  системанинг  детеминанти 

0





  бўлсин.  Унда  юқорида 

киритилган А матрицани тескари матрицаси мавжуд бўлади.  























33

23

13

32

22

12

31

21

11

1

а

а

а

а

а

а

а

а

а

А

 

 

11

6

 тенгликнинг ҳар икки томони А

-1

 га кўпайтириб топамиз.  

А

-1

.  АХ=  А

-1 

  В,  агар 

 

Х

ЕХ

Х

 

1







А

А

  бўлишини  эътиборга  олсак,  унда 

матрица кўринишда ёзилган 

 

11

6

  тенгламанинг ечими  

 

 

В

А

Х







1

                                       (9) 

 Ечими бўлишини топамиз.  







































































3

2

1

33

1

23

1

13

1

32

3

22

2

12

1

31

3

21

2

11

1

3

2

1

33

23

13

32

22

12

31

21

11

1

1

1

1

х

х

х

А

в

А

в

А

в

А

в

А

в

А

в

А

в

А

в

А

в

в

в

в

а

а

а

а

а

а

а

а

а

А

 

Агар 

3

2

1

х

х

х

Х



  бўлиши  эътиборга  олсак,  (9)  тенгликни  қуйидаги  кўринишда 

ҳам ёзиш мумкин.  

3

2

1

3

2

1

1

1

1

х

х

х

х

х

х





















 

Кейинги тенгликдан  

,

        

,

         

,

3

3

2

2

1

1

х

х

х

х

х

х

х

х

х













 

Бўлиши 

келиб 

чиқади. 

Бу 

эса 

Крамер 

формуласидир.  

 

 

 

 

 

 

37