Ўзбекистон республикаси ќишлоќ ва сув хўжалиги вазирлиги тошкент ирригация ва мелиорация институти

Назарий ќисм
Оддий прогонка усули. оралиќда
(1)
дифференциал тенгламанинг
(2)
чегаравий шартларни ќаноатлантирувчи ечимини топиш талаб ќилинсин. Бу ерда , - оралиќда берилган узлуксиз функциялар бўлиб, - лар ва шартларни ќаноатлантирсин.
Теорема. Агар , функциялар оралиќда икки марта узлуксиз дифференциалланувчи ва бўлса, (1), (2) чегаравий масала ягона ечимга эга бўлади.
оралиќни нуќталар билан тўр(сетка)га ажратиб, , , белгилашларни киритамиз. Ички нуќталар учун чекли айирмалардан фойдаланиб, аниќликда (1) тенгламани
(3)
(2) чегаравий шартни эса
(4)
кўринишда ёзиб оламиз.
(3) да эканлигини ҳисобга олиб, уни (4) га ќўямиз ва

тенгликни ҳосил ќилиб, уни

кўринишда ёзиб оламиз. Бу ерда , .
Худди шунга ўхшаш (3) да эканлигини ҳисобга олиб, уни (4) га ќўямиз ва

тенгликни ҳосил ќилиб, уни
(5)
кўринишда ёзиб оламиз. Бу ерда , .
(3) ва (4) биргаликда – номаълумларни ўз ичига олган та чизиќли алгебраик тенгламалар системасини ташкил этади.
Агар системани
,
матрица кўринишида ифодаласак, учта диагоналидаги элементлар нолдан фарќли матрица (учдиагоналли матрица) бўлади. Бу системани Гаусс, Крамер, тескари матрица усуллари билан ечиш яхши самара бермайди. Шу сабабли бу системани ечиш учун прогонка усулидан фойдаланамиз.
Умумий
, (6)
кўринишдаги учдиагоналли тенгламалар системаси берилган бўлсин. Бу ерда лар га боѓлиќ ўзгармаслар.
(6) нинг ечимини
, (7)
кўринишда ифодалаймиз. Бу ерда - лар маълум, - лар эса ҳозирча номаълум коэффициентлар.
(7) да ни га алмаштириб, га эга бўламиз ва ўрнига унинг (7) даги ифодасини олиб келиб ќўямиз. Натижада
, (8)

тенгликни ҳосил ќиламиз. (7), (8) ларни (6) га олиб бориб ќуйиб,


тенгликга эга бўламиз. Бу тенгликда олдидаги коэффициентларни ҳамда озод ҳадларни нолга тенглаштириб,


тенгликларни ҳосил ќиламиз. Бу ердан ларни ҳисоблаш учун
(9)
формулаларга эга бўламиз. (9) тўѓри прогонка формуласи деб аталади ва у ларни билган ҳолда ларни ҳисоблаш имконини беради.
ларнинг ќийматларини аниќлаб, уларни (5) га ќўйсак, натижада

ёки

га эга бўламиз. ни билган ҳолда, (7) формула ёрдамида ларнинг ќийматларини ҳисоблаймиз. Бу амал тескари прогонка деб аталади.