Ўзбекистон республикаси ќишлоќ ва сув хўжалиги вазирлиги тошкент ирригация ва мелиорация институти

Н азарий ќисм

Узунлиги га тенг, учлари шарнирли маҳкамланган, ўзгарувчан кесимли эластик тўсин(балка)нинг эгилиши ҳаќидаги масалани ќарайлик (расм). Тўсинга q(x) куч таъсир этаётган бўлсин. У ҳолда тўсин деформацияланиб унинг кесимларида кучланишлар ҳосил бўлади.
Агар кучланишни  ва деформацияни  деб белгиласак, улар орасидаги боѓланиш Гук ќонунига асосан
(1)
бўлади. Бу ерда - эластиклик модули.
Тўсиннинг ихтиёрий нуќтасидаги эгилишини деб олсак, у деформация билан ќуйидагича боѓланган:
(2)
(1) ва (2) ни тўсиннинг мувозанат тенгламаси
, ,
га ќўйиб,
(3)
тенгламани ҳосил ќиламиз. Бу ерда – инерция моменти, -тўсин кўндаланг кесим юзаси, -куч моменти, - тўсин сиртидан унинг ўќ кесимигача бўлган масофа.
Хусусий ҳолда ўзгармас кесимли эластик стерженни эгилиши ҳаќидаги масалани ќарасак, (3) тенглама

кўринишни олади.
Тўсиннинг учлари шарнирли ќилиб маҳкамланганлиги учун (3) тенглама ва да
ва (4)
шартларни ќаноатлантириши керак.
(3) ва (4) биргаликда ўзгарувчан кесимли тўсиннинг эгилиши масаласининг математик модели бўлади.
(3) тенгламада , , , алмаштиришларни бажариб (ва ќулайлик учун олдинги белгилашларни саќлаб ќолиб)
(5)

тенгламани ҳосил ќиламиз. (4) шарт эса ва да ќуйидаги

ва (6)
кўринишни олади.
(5) тенгламанинг (6) шартни ќаноатлантирувчи ечимини Бубнов-Галёркин усулига асосан
(7)
кўринишда ќидирамиз. (7) нинг ҳосилаларини ҳисоблаб,



ларни (5) га олиб бориб ќуйидаги

тенгликни ҳосил ќиламиз.
Бу тенгликни иккала томонини га кўпайтириб, уни 0 дан 1 гача интеграллаймиз ва натижада ларга нисбатан
, m=1,2,…,N (8)
тенгламалар системасини ҳосил ќиламиз. Бу ерда

лар Симпсон формуласи ёрдамида ҳисобланади.
(8) тенгламалар системасини Гаусс усулида ечиб, ларни аниќлаймиз ва уни (7) га ќуйиб ни аниќлаймиз.