Ўзбекистон республикаси ќишлоќ ва сув хўжалиги вазирлиги тошкент ирригация ва мелиорация институти

2-ЛАБОРАТОРИЯ ИШИ


Мавзу: Транцендент тенгламаларни таќрибий ечиш усуллари.
Керакли техник воситалар:
Шахсий компьютер.
Керакли дастурий воситалар:
Турбо Паскаль дастурлаш системаси ва транцендент тенгламаларни ечиш учун оралиќни тенг иккига бўлиш, ватарлар ва уринмалар усулларига тузилган дастурлар.
Ишнинг маќсади: Талабаларни транцендент тенгламаларни таќрибий ечиш алгоритми билан таништириш ва унга Паскаль тилида тузилган дастурда ишлашга ўргатиш.
Топшириќ
1-масала. Берилган тенгламаларни оралиќни тенг иккига бўлиш ва ватарлар усуллари ёрдамида =0,01 аниќликда таќрибий ечинг.
1. x³+2x-5=0 [0;2] 2. e^x+2x-7=0 [0;2]
3. 2x-3-sinx=0 [0,5;2,5] 4. cosx-x³-x=0 [0;1]
5. xsinx+x-1=0 [0;1] 6. x-e^x+2=0 [-2;-1]
7. x³-2x²-x+2=0 [1,1;2,5] 8. 2^-x-x=0 [0;1]
9. 3^x+x-6=0 [1;2] 10. x+log₂x-2=0 [1;2]
11. x+2-e^-x=0 [-1;0] 12. x+0,5(2,5)^x-3,5=0 [0,5;1,5]
13. lnx-2+x=0 [1;2] 14. e^2x+2x-5=0 [0,5;1,5]
15. 9x-2+10^0,5x=0 [0;1]
2-масала. Берилган тенгламаларни уринмалар усули ёрдамида =0,01 аниќликда таќрибий ечинг.
1. x⁵-x-0,2=0 x₀=1 2. x⁴-3x²+75x-10000=0 x₀=-20
3. x+2^x-2=0 x₀=0,5 4. x³-2x²-x+2=0 x₀=-2
5. 4^x+2x=0 x₀=1 6. e^x-2+x=0 x₀=0
7. sinx-2x=0 x₀=0,1 8. x⁴+x²-x-4=0 x₀=1
9. 5^x-x²-2=0 x₀=0 10. log_0,5x-x²-1=0 x₀=0,2
11. e^2x-x²-3=0 x₀=0,5 12. 3^x+2x=0 x₀=-1
13. e^3x+4x-6=0 x₀=1 14. x³-3x²+5x-3=0 x₀=0,5
15. 2x³-3x²+4x-6=0 x₀=1
Назарий ќисм
Чекли [a,b] оралиќда аниќланган ва узлуксиз f(x) функия берилган бўлиб, унинг биринчи ва иккинчи тартибли ҳосилалари шу оралиќда мавжуд бўлсин. Шу билан бирга [a,b] да f’(x) функция ўз ишорасини саќласин.
f(x)=0 (1)
тенглама [a,b] оралиќда ягона ечимга эга бўлсин ва бу ечимни берилган >0 аниќликда топиш талаб ќилинган бўлсин. Ќуйида бу ечимни аниќлаш учун бир неча сонли усуллар, уларнинг Паскал алгоритмик тилида тузилган программаларни келтирамиз.
Оралиќни тенг иккига бўлиш усули. [a,b] оралиќни x₀=(a+b)/2 нуќта орќали иккита тенг [a,х₀] ва [х₀,b] оралиќларга ажратамиз. Агар a-x₀ бўлса, x=x₀ (1) тенгламанинг  аниќликдаги таќрибий ечими бўлади. Бу шарт бажарилмаса, [a,х₀] ва [х₀,b] оралиќлардан (1) тенглама илдизи жойлашганини танлаб оламиз ва уни [a₁,b₁] деб белгилаймиз. x₁=(a₁+b₁)/2 нуќта ёрдамида [a₁,b₁] оралиќни иккита тенг [a₁,х₁] ва [х₁,b₁] оралиќларга ажратамиз. a₁-x₁ бўлса, x=x₁ (1) тенгламанинг  аниќликдаги таќрибий ечими бўлади, акс ҳолда [a₁,х₁] ва [х₁,b₁] оралиќлардан (1) тенглама илдизи жойлашганини танлаб оламиз ва уни [a₂,b₂] деб белгилаймиз. Бу оралиќ учун юќоридаги ҳисоблашлар кетма-кетлигини a_i-x_i (i=2,3,4,…) шарт бажарилгунча давом эттирамиз. Натижада (1) тенгламанинг x=x_i таќрибий ечимини ҳосил ќиламиз.
Мисол. f(x)=x⁴-x³-2x²+3x-3 тенгламанинг [-2;1] оралиќдаги илдизини =0,01 аниќликда ҳисобланг.
Ечиш. 7- ќадамда a₇=-1,7305 ва b₇=-1,7363 бўлиб, a₇-b₇=0,01 шарт бажарилади.
(жавоб: =-1,73(0,01)).
Оралиќни тенг иккига бўлиш усулига Паскаль тилида тузилган дастур матни:
program oraliq2; uses crt; {Оралиќни тенг иккига бўлиш усули}
var a,b,eps,x,fa,fc,c:real;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) функциясининг кўриниши }
end;
begin clrscr;
write('a='); read(a);
write('b='); read(b);
write('eps='); read(eps);
fa:=f(a);
while abs(b-a)>eps do
begin
c:=(a+b)/2;
fc:=f(c);
if fa*fc<=0 then b:=c else begin a:=c; fa:=fc end;
end;
writeln('x=',c:10:4);
end.
Ватарлар усули. Аниќлик учун f(a)>0 ( f(a)<0 ) бўлсин. А=А(a;f(a)), B=B(b;f(b)) нуќталардан тўѓри чизиќ ўтказамиз ва бу тўѓри чизиќни Ох ўќи билан кесишиш нуќтасини деб белгилаймиз. Агар |a-x₁| бўлса, x=x₁ (1) тенгламанинг  аниќликдаги таќрибий ечими бўлади. Бу шарт бажарилмаса, b=x₁ (a=x₁) деб оламиз. A, B нуќталардан тўѓри чизиќ ўтказамиз ва унинг Ох ўќи билан кесишиш нуќтасини деб оламиз. Агар |x₂-x₁| шарт бажарилса, x=x₂ (1) тенгламанинг  аниќликдаги таќрибий ечими бўлади, акс ҳолда b=x₂ (a=x₂) деб олиб, юќоридаги амаллар кетма-кетлигини |x_i-x_i-1| (i=3,4,…) шарт бажарилгунча давом эттирамиз. Натижада (1) тенгламанинг x=x_i таќрибий ечимини ҳосил ќиламиз.
x_n ларнинг кетма-кет ҳисоблаш формуласи ќуйидаги кўринишга эга бўлади:

Мисол. tg(0,55x+0,1)-x²=0 тенгламанинг [0,6;0,8] оралиќдаги илдизини =0,005 аниќликда ҳисобланг.
Ечиш. x₂-x₁=0,002< бажарилади. x₂=0,7517; x₁=0,7417 бундан x=0,7517.
Ватарлар усулига Паскаль тилида тузилган дастурнинг кўриниши:
program vatar; uses crt; {Ватарлар усули}
label 1,2;
var a,b,eps,x:real;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) функциясининг кўриниши }
end;
begin clrscr;
write('a='); read(a);
write('b='); read(b);
write('eps='); read(eps);
2: x:=b;
x:=b-f(b)*(b-a)/(f(b)-f(a));
if abs(x-b)1 else begin b:=x; goto 2 end;
1: writeln('x=',x:8:4);
end.
Уринмалар усули. [a,b] оралиќда f^/(x) ва f^//(x) нинг ишоралари ўзгармасдан ќолсин. f(x) функция графигининг В=В(b,f(b)) нуќтасидан уринма ўтказамиз. Бу уринманинг Ох ўќи билан кесишган нуќтасини b₁ деб белгилаймиз. f(x) функция графигининг В₁=В₁(b₁,f(b₁)) нуќтасидан яна уринма ўтказамиз ва бу уринманинг Ох ўќи билан кесишган нуќтасини b₂ деб белгилаймиз. Бу жараённи бир неча марта такрорлаб, b₁,b₂,...,b_n ларни ҳосил ќиламиз. шарт бажарилганда ҳисоблаш тўхтатилади.

Мисол. tg(0,55x+0,1)-x²=0 тенгламанинг [0,6;0,8] оралиќдаги илдизини =0,005 аниќликда ҳисобланг.
Ечиш. b₂-b₁=0,002; x=b₂ =0,7503.
Уринмалар усулига Паскал тилида тузилган дастурнинг кўриниши:
program urinma; uses crt; {Уринмалар усули}
var x0,eps,x1,a:real;
function f(x:real):real;
begin
f:= { f(x) функциясининг кўриниши }
end;
function fx(x:real):real;
begin
fx:= { f’(x) функциясининг кўриниши}
end;
begin clrscr;
write('x0='); read(x0);
write('eps='); read(eps);
x1:=x0;
repeat
a:=f(x1)/fx(x1);
x1:=x1-a;
until abs(a)
writeln('x=',x1:10:4);
end.
Ишни бажариш тартиби:

1. 
   Берилган масаланинг ечиш алгоритмини блок-схема кўринишда тасвирлаш.
   
2. 
   Турбо-Паскаль муҳитида дастурни киритиш.
   
3. 
   Дастурни компьютер хотирасида саќлаш ва дастурдаги мавжуд хатоларни топиш ва уларни тўѓрилаш.
   
4. 
   Дастурни ишга тушириш ва масаланинг бошланѓич маълумотларини киритиб натижалар олиш.
   
5. 
   Олинган натижалар таҳлили асосида хулосалар ќилиш.
   
6. 
   Лаборатория ишини расмийлаштириш.
   

Назорат саволлари:

1. 
   Чизиќсиз ёки транцендент тенглама тушунчаси.
   
2. 
   Чизиќсиз тенглама ечимининг мавжудлик шарти.
   
3. 
   Оралиќни тенг иккига бўлиш усули ва унинг алгоритми.
   
4. 
   Ватарлар усули ва унинг алгоритми.
   
5. 
   Уринмалар усули ва унинг алгоритми.
   

3-ЛАБОРАТОРИЯ ИШИ


Мавзу: Аниќ интеграл ќийматини таќрибий ҳисоблаш усуллари.
Керакли техник воситалар:
Шахсий компьютер.
Керакли дастурий воситалар:
Турбо Паскаль дастурлаш системаси ва аниќ интеграллар ќийматларини таќрибий ҳисоблаш учун тузилган дастурлар.
Ишнинг маќсади: Талабаларни аниќ интегралларни тўѓри тўртбурчак, трапеция ва Симпсон усуллари ёрдамида таќрибий ҳисоблаш алгоритмлари билан таништириш ва унга Паскаль тилида тузилган дастурда ишлашга ўргатиш.
Топшириќ.
Ќуйидаги аниќ интегралларни тўѓри тўртбурчак, трапеция ва Симпсон усуллари ёрдамида ҳисобланг (n=10).
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12. 13. 14.
15.
Назарий ќисм.