Занятие №2 Критерии устойчивости сау

Практическое занятие № 2
Критерии устойчивости САУ


Цель занятия
Получить практические навыки определения устойчивости САУ с помощью критериев устойчивости.
Краткие теоретические сведения
Вывод об устойчивости реальных систем необходимо делать на основе анализа исходного нелинейного уравнения и для определения неустойчивости или устойчивости системы будет достаточно выявить положительность (отрицательность) действительных корней характеристического уравнения.
Критериями устойчивости называют определенные правила, по которым в теории автоматического управления определяют знаки корней характеристического уравнения, не решая его. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости.
Алгебраическими критериями устойчивости системыназывают необходимое и достаточное условие отрицательности корней при определенных значениях коэффициентов в характеристическом уравнении.
Частотными критериями устойчивости системы установлена зависимость устойчивости системы от формы частотных характеристик системы.
2.3. Пример решения
Дан ПИ-регулятор с передаточной функцией вида W_p = 2 +  и объект управления, описываемый дифференциальным уравнением
.
Определяется передаточная функция объекта:
.
Тогда передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:
.
Характеристический полином замкнутой системы:
D(s) = A(s) + B(s) = 2s⁴ + 3s³ + s² + 2s³ + 9s² + 6s + 1 = 2s⁴ + 5s³ + 10s² + 6s + 1.
Передаточные функции замкнутой системы:
- по заданию,
- по ошибке,

- по возмущению.
По передаточным функциям определяются коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:
К_з = Ф_з(0) = 1 – по заданию; 
К_Е = Ф_Е(0) = 0 – по ошибке; 
К_в = Ф_в(0) = 0 – по возмущению.
Устойчивость САУ определяется по критерию Гурвица.
Поскольку коэффициенты характеристического полинома а₄ = 2, а₃ = 5, а₂ = 10, а₁ = 6, а₀ = 1 (степень полинома n = 4), то матрица Гурвица имеет вид:

(обратите внимание на сходство строк матрицы: 1 с 3 и 2 с 4). Определители:
Δ₁ = 5 > 0,
,

Δ₄ = 1* Δ₃ = 1*209 > 0.
Поскольку все определители положительны, то САУ устойчива.