Закон больших чисел Марцинкевича-Зигмунда для слабо зависимых случайных величин со значениями в банаховых пространствах Кушмуродов А. А

Закон больших чисел Марцинкевича-Зигмунда для слабо зависимых случайных величин со значениями в банаховых пространствах
Кушмуродов А.А.
Усиленный закон больших чисел Марцинкевича-Зигмунда для последовательностей случайных величин (с.в.) со значениями в бесконечномерных пространствах исследован многими авторами (см.([1])-([3]) литературу в них). Справедливость этого закона существенно зависить от геометрии банахового пространства .
Приведем определение банахового пространства типа .
Определение 1. Сепарабельное банахово пространство (с нормой ) называется имеющим тип , если для всех конечных наборов независимых случайных величин со значениями в с и имеет место следующее неравенство

где константа зависит только от пространства .
Мы рассматриваем последовательности перемешивания, а теперь дадим определение коэффициентов перемешивания.
Определение 2. Для последовательности -значных случайных величин коэффициенты перемешивания определяются следующим образом:

где - означает - алгебру, порожденную с.в. .
Теперь приведем определение коэффициентов перемешивания.
Определение 3. Для последовательности -значных случайных величин коэффициенты перемешивания определяются следующим образом:

где - означает - алгебру, порожденную с.в. .
Для независимых случайных величин мы приводим теоремы, изучаемые в законе больших чисел типа Марцинкевича-Зигмунда.
Теорема А. Пусть и - последовательность независимых - значных случайных величин.
Тогда
п.н.
тогда и только тогда
и .
Теорема В. Пусть . Тогда следующие две утверждение эквивалентны:

1. 
   Банахово пространство имеет Радемахера тип .
   
2. 
   Для всех последовательность независимых -значных случайных величин,
   

п.н.
тогда и только тогда
и
Теорема 1.([2]) Если и - последовательность независимых одинаково распределенных - значных случайных величин, то эквивалентны следующие условия:

1. 
   
   
2. 
   п.н., при .
   
3. 
   
   
4. 
   
   

Теорема 2. ([3]) Пусть сепарабельное банахово пространства, . Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных - значных случайных величин с . Тогда при ,
тогда и только тогда п.н.
Теорема 3. ([1]) Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных - значных случайных величин, .
Тогда
(1)
тогда и только тогда
п.н. (2)
кроме того, каждое из (1) и (2) влечет, что
и
и
п.н.
Лемма 1. Пусть - последовательность одинаково распределенных случайных величин со значениями в . Предположим, что выполняются следующие условия:
,
.
Тогда при
.
Теперь наш основной теорему приведем.
Теорема 4. Пусть - последовательность одинаково распределенных случайных величин со значениями в банаховом пространстве типа и выполняются следующие условия:

Тогда при
.
Использованные литературы

1. 
   D. Li, Y. Qi, A. Rosalsky. A refinement of the Kolmogorov-Marcinkiewich-Zygmund strong law of large numbers . Jour. Theor. Probab., 24,1130–1156,  2011.
   
2. 
   Азларов Т.А.,Володин Н.А., Законы больших чисел для одинаково распределенных банаховозначных случайных величин. Теория вероят.и ее примен., том 26, вып. 3, 584-590, 1981.
   
3. 
   de Acosta A., Inequalities for B-valued random vectors with applications to the law of large numbers. Ann.Probab. 9, 157-161. 1981.
   
4. 
   Yu M.,Wenfei X., Shanshan Ch., Andre A., Some limit theorems for negatively associated random variables.Proc. Indian Acad.Sci. (Math. Sci.) vol 124, No. 3, pp 447-456, 2014.