Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

Almashishlar soning chekliligi haqidagi teorema.

Holatning umumiylik sharti bajarilsa va (1.2) qo’shma sistemaning vaqt oraligidagi ixtiyoriy yechimi bo’lsin. U holda vaqtning chekli sondagi momentlaridan tashqari barcha momentlarida (1.3) maksimum sharti boshqaruvni ko’pyoqli uchlaridan bi sifatida bir qiymatli aniqlaydi. Bunda berilgan boshqaruv chekli sondan ortiq bo’lmagan uzulishlarga ega bo’lishi mumkin.
Isboti Mahkamlangan uchun noma’lum vektorga nisbatan tenglama sifatida
(2.9)
maksimum shartini qaraymiz. U holda skalyar ko’paytmaning chiqli ekanligiga ko’ra o’zgaruvchining funksiyasi o’zgarmas yoki ko’pyoqli o’lchamiga nisbatan kichik o’lchamli bo’lgan ko’pyoqlining qandaydir yog’ida o’zining maksimal qiymatiga erishadi. Bu hol nol o’lchamli yog’iga, ya’ni uchida, yoki qandaydir o’lchami nolga teng bo’lmagan yog’ida bo’lishi mumkin. Keyingi holda funksiya da o’zgarmas, va demak ko’pyoqlining qandaydir qirrasida (o’lchami birga teng bo’lgan yoq) o’zgarmasdir. ko’pyoqlining har bir yog’i ko’pyoqlining ham yog’I bo’lganligi uchun, u holda bu qirra ko’pyoqlining qirrasi bo’ladi. Demak funksiyaning maksimumi ko’pyoqlining qirrasi bo’lgan yagona nuqtada, yoki bu ko’pyoqlining qandaydir qirrasining barcha nuqtalarida erishiladi. Holatning umumiylik shartiga ko’ra bu maksimum qandaydir qirrasida faqat chekli sondagi ning qiymatlari uchun erishilishini ko’rsatamiz.
Haqiqatdan ham, teskaridan faraz qilamiz, ya’niy funksiyaning maksimumi ko’pyoqlining qirasida ning cheksiz ko’p qiymatlarida erishilsin. U holda ko’pyoqlining qirralari soni chekli bo’lganligi uchun, u holda shunday qirra topiladiki, bunda maksimum vaqitning sanoqli sondagi momentlari uchun erishiladi. Bu qirra va uchlardan tashkil topgan bo’lsin.U holda
…
Demak qirra bilan yo’nalishdosh bo’lgan vektor uchun

tengliklar hosil bo’ladi. funksiya (1.2) chiziqli differensiyal tenglamalar yechimi bo’lgani uchun analitik funksiyadir, bundan esa barcha nuqtalar iuchun . kesmaning barcha ichki nuqtalarda ayniyatni ketma ket marta differensialab va funksiya (1.2) qo’shma sistemaning yechimi ekanligidan foydalanib kesmada quyidagi ta


ayniyatlarni hosil qilamiz. . Holatning umumiylik shartiga ko’ra ( 2.8) vektorlar chiziqli erkli. Demak kesmada , bu esa funksiyaning aynan nolga teng emasligiga zid.
Demak funksiya (12.9) maksimum shartidan boshqaruvini ning chekli sondagi qiymatlardan tashqari ko’pyoqlining qandaydir uchi sifatida bir qiymatli aniqlashi isbotlandi. Aytaylik vaqtning shunday momenlariki, bu nuqtalarda boshqaruv (12.9) maksimum shartidan bir qiymatli aniqlanmasin. Har bir oraliqda boshqaruv o’zgarmas ekanligini isbotlaymiz. nuqtalar ko’pyoqlining barcha uchlari bo’lsin. boshqaruvning qiymati uchda bo’ladigan to’plamida bo’lgan nuqtalat majmuasini bilan belgilaymiz, bu erda . Bunda to’plamdan ba’zilari bo’sh to’ploam bo’lishi mumkin to’plamlar juft jufti bilan kesishmaydi va ekanligi ravshan.
Qandaydiq bo’sh bo’lmagan to’plamni tanlaymiz. - to’plamning qandaydir nuqtasi bo’lsin. (12.9) maksimum shartiga ko’ra va to’plamni aniqlanishiga ko’ra bo’lganda tengsizlikka ega bo’lamiz, funksiyaning uzluksizligigz ko’ra shunday soni mavjudki barcha nuqtalar uchun tengsizlik bajariladi. Shuning uchun - ochiq to’plam. Boshqa tomondan to’plam oraliqda yopiq edi. Haqiqatdan ham, nuqta oraliqga tegishli to’plamning limit nuqtasi bo’lsin. Bu esa munosabati qanoatlantiruvchi nuqtalar ketma ketligining mavjudligini bildiradi. to’plamning aniqlanishiga ko’ra tenglik bajariladi. Skalyar ko’paytmaning, tayanch funksiyaning va funksiyaning uzliksizligiga ko’ra oxirgi tenglikda limitga o’tilsa tenglik hosil bo’ladi. Demak . Demak shuning uchun to’plam oraliqda yopiq to’plam. oraliq bog’liq to’plam, to’plam bir vaqitning o’zida oraliqda ochiq va yopiq to’plam bo’lgani uchun bo’ladi. bo’lganda qolgan to’plamlar esa bo’sh to’plamdir. Demak har bir oraliqda boshqaruv o’zgarmas bo’ladi. Teorema isbotlandi.
Boshqaruv qiymatini o’lchovi nolga teng bo’lgan to’plamda ozgartirish sistema trayektoriyasida hech qanday ta’sit ko’rsatmaganligi uchun u holda berilgan chiziqli tezkorlik masalasida holatning umumiylik sharti bajarilsa, u holda joiz boshqaruvlar sinfi sifatida, bo’lakli o’zgarmas va chapdan uzluksiz boshqaruvlar sinfini qarash mumkin. Bu boshqaruvlar sinfi chekli sondan ko’p bo’lmagan uzulish nuqtalariga (almashinish nuqtalari deb nomlangan) ega bo’lgan funksiyalar sinfidan iborat bo’lib, har bir uzluksizlik oraligida o’zgarmas va har bir uzulish nuqtasida qiymati chap limitga teng. Haqiqatdan ham agar berilgan masalada holatning umumiylik sharti bajarilsa va sistema toplamdan to’plamga boshqariluvchan bo’lsa, u holda optimal boshqaruvning mavjudligi (9-ma’ruzaga qarang) haqidagi teoremaga asosan o’lchovli boshqaruvlar sinfidan optimal teskorlik boshqaruvi mavjud bo’ladi. Keyin optimal boshqaruv Pontryagin maksimum prinsipini qanoatlantiradi. Demak almashishlar soning chekliligi haqidagi teoremaga asosan zarur bo’lsa nol o’lchovli to’plamda optimal boshqaruvini o’zgartirib, uni bo’akli o’zgarmas va chapdan uzluksiz deb hisoblash mumkin.
Ba’zi muhim hollarda holatning umumiylik sharti Pontyagin maksimum prinsipini qanoatlantiruvchi boshqaruvni optimalligini, va optimal boshqaruvning yagonaligini ta’minlaydi
Xulosa:
Men ushbu kurs ishini yozish mobaynida optimal boshqaruv matematik nazariyasi asosiy masalalari, uning tatbiqlari, misollar, yagonalik teoremasi va isbotlari haqida o‘rgandim. Kirish qismida Taʼlim jarayonida yuz berayotgan oʻzgarishlar, tashkil etilayotgan yangi sharoitlar, yangiliklar, Kadrlar tayyorlash milliy dasturining ilgari surilgan gʻoyalari , hamda biz o’qiyotgan optimal boshqaruv nazariyasi masalalari fanining ahamiyati haqida ma’lumotlar keltirib oʻtildi. Asosiy qismi 4 bo’limga ajrtilib, 1.Optimal boshqaruv matematik nazariyasi masalalari. 2.Yagonalikning birinchi teoremasi 3. Holatning umumiy shartlari 4. Almashishlari sonining chekliligi haqidagi teorema dan iborat.
Mavzulari atroflicha yoritildi, ushbu mavzuga doir bi qancha misollar atroflicha ko’rib chiqildi optimal boshqaruvning yagonaligi haqidagi teoremalar va ularning isbotlari, tatbiqlari yoritilgan Men ushbu kurs ishi tayyorlash mobaynida kurs ishi mavzuimni to’la o’rganib, uni chuqurroq tahlil qilishga urindim.Bunda bir qancha adabiyotlardan foydalandim misol uchun . Ross, Isaak (2015). Pontryagin printsipi bo'yicha optimal boshqaruv. San-Frantsisko, . Luenberger, Devid G. (1979). "Optimal boshqaruv". Dinamik tizimlarga kirish, Kamien, Morton I. (2013). Dinamik optimallashtirish: o'zgarishlar hisobi va iqtisodiyot va menejmentdagi optimal nazorat boshqalar. Hamda o’zim uchun bir qacha foydali ma’lumotlarni ham o’zlashtirib oldim.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati:
1. Ross, Isaak (2015). Pontryagin printsipi bo'yicha optimal boshqaruv. San-Frantsisko: Kollegial noshirlar. ISBN 978-0-9843571-0-9. OCLC 625106088.
2. Luenberger, Devid G. (1979). "Optimal boshqaruv". Dinamik tizimlarga kirish. Nyu-York: John Wiley & Sons. pp.393–435. ISBN 0-471-02594-1.
3. Kamien, Morton I. (2013). Dinamik optimallashtirish: o'zgarishlar hisobi va iqtisodiyot va menejmentdagi optimal nazorat. Dover nashrlari. ISBN 978-1-306-39299-0. OCLC 869522905.
4. Sargent, R. W. H. (2000). "Optimal boshqaruv". Hisoblash va amaliy matematika jurnali. 124 (1–2): 361–371. Bibcode:2000JCoAM.124..361S. doi:10.1016 / S0377-0427 (00) 00418-0.
5. Bryson, A. E. (1996). "Optimal boshqaruv - 1950 yildan 1985 yilgacha". IEEE Control Systems jurnali. 16 (3): 26–33. doi:10.1109/37.506395.
6. Ross, I. M. (2009). Pontryaginning optimal boshqarish printsipi bo'yicha primer. Kollegial noshirlar. ISBN 978-0-9843571-0-9.
7. Kalman, Rudolf. Lineer filtrlash va bashorat qilish muammolariga yangi yondashuv. ASME bitimlari, Asosiy muhandislik jurnali, 82: 34-45, 1960Entsiklopediya site:uz.wikisko.ru