Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

Yagonalikning birinchi teoremasi. boshlang’ich shart bo’yicha qo’shma sistemaning vaqt oralidagi yechimi berilgan
bo’lsin. tayanch funksiya nuqtada bo’yicha differensiallanuvchi, ya’ni bu nuqtada funksiyaning gradiyenti mavjud bo’lsin. Keyin deyarli barcha uchun tayanch funksiya nuqtada bo’yicha differensiallanuvchi bo’lsin. U holda Pontryagin maksimum prinsipini qanoatlantiruvchi mos juftlik yagona bo’ladi.
Isboti. tayanch funksiya nuqtada bo’yicha differensiallanuvchi, geometrik nuqtai nazardan to’plam uchun yo’nalishdagi tayanch to’plam bitta nuqtadan iborat, va bu nuqta vektordan iborat.bu tasdiqning isboti Qo’shimchaning D5 bo’limida keltirilgan. Xuddi shu kabi tayanch funksiyaning nuqtada bo’yicha differensiallanuvchanligi U to’plam uchun yo’nalishdagi tayanch to’plam bitta nuqtadan iborat, va bu nuqta vektordan iborat. Demak (2.5) shartdan yagona vektor, (2.6) shartdan esa , deyarli barcha uchun yagona vektor aniqlanadi. Teorema isbotlandi.
Agar to’plam bilan uning ixtyoriy gipertekisligi yagona nuqtada kesishsa, bu to’plamga qat’iy qavariq to’plam deyiladi.
Natija. qat’iy qavariq to’plam va deyarli barcha uchun U to’plam ham qat’iy qavariq to’plam bo’lsin. U holda ixtiyoriy boshlang’ich qiymat uchun maksimum prinsipini qanoatlantiruvchi juftlik yagona bo’ladi.
Bu natijaning isboti tayanch funksiya differensiallanuchanliginig geometrik ma’nosidan kelib chiqadi.

2.3 Holatning umumiylik sharti
Harakati
(2.7)
tenglama bilan yozilgan ob’yekt uchun , tezkorlik masalasini qaraymiz, bu yerda boshqaruvga cheklanishlar beruvchi to’plami fazoda qavariq, yopiq chegaralangan ko’pyoqli . Bunda boshang’ich holatlaning to’plami va so;ggi holatlarning to’plami xuddi avvalgidek fazoning bo’sh bo’lmagan, qavariq kompakt to’plamlari deb hisoblaymiz.
fazodagi qavariq, yopiq ko’pyoqli chekli sondagi yopiq yarim fazolarning kesishmasidan, ya’ni chekli sondagi

chiziqli tengsizliklar bilan beriladi. to’plam yopiq chegaralangan ko’pyoqli bo’lgan holi qiziqarli bo’lib, amaliyotda ko’p uchraydi. Bu hol yetarlicha umumiydir, chunki fazodagi har qanday kompaktni Xausdorf metrikasi bo’yicha qavariq, yopiq chegaralangan ko’pyoqli bilan istalgan aniqlikda yaqinlashtirish mumkin.
Ixtiyoriy

gipertekislik


ko’rinishda ifodalanishi mumkin bo’lgani uchun , u holda gipertekislik qavariq, yopiq ko’pyoqli bo’ladi. Bundan qavariq, yopiq ko’pyoqlining tayanch to’plami yana qavariq, yopiq ko’pyoqli bo’lishi kelib chiqadi.
ko’pyoqlining tayanch to’plami deb uning yoqlari deyiladi. Shuning uchun ko’pyoqlining ixtiyoriy yog’i bu ko’pyoqlining o’zi bilan ustma-ust tushmasa ko’pyoqlining o’lchami ko’pyoqlining o’lchamidan kichik bo’ladi ( qo’shimchaning D7 bo’limidagi qavariq to’plamning o’lchami ta’rifiga qarang). Bunda ko’pyoqlining barcha yoqlari ham dastlabki ko’pyoqlining yoqlari bo’ladi. qavariq ko’pyoqli chegaralangan bo’lsa, u holda bu qavariq ko’pyoqli chekli sondagi nol o’lchamli yoqlarga, ya’ni bitta nuqtadan tashkil topgan yoqlarga ega bo’ladi. Bunday yoqlar ko’pyoqlining uchlari deyiladi. O’lchami birga teng yoqlarga ko’pyoqlining qirralari deyiladi. Agar ko’pyoqli chegaralangan va uning uchlari bo’lsa, u holda ko’pyoqli o’z uchlarining qavariq qobig’I bilan ustma-ust tushadi, har bir qirrasiuning qandaydir ikkita qo’shni uchlarining qavariq qobig’i, ya’ni kesmadan iborat bo’ladi (2-chizma).



2-chizma.
qirra va qirralarning qavariq qobig’I , ya’ni bo’lsin. U holda vektorga ko’pyoqli qirrasining yo’nalishi deb aytamiz, bu yerda
Kelgusida, (2.7) tenglamaning koeffisiyentlari va yopiq qavariq ko’pyoqlining fazoda joylashishida holatning umumiylik sharti vektor ko’pyoqli qirralaridan birining yo’nalishi bilan bir xil yo’nalishga ega bo’lganda,
(2.8)
vektorlarning chiziqli erkli bo’lishidan iborat.
Holatning umumiylik shartini geometrik ma’nosini tushuntiramiz. Buning uchun bizga invariant qism fazo tushunchasi zarur.
Agar ixtiyoriy vektor uchun, vektor ham yana qism fazoga tegishli bo’lsa, u holda fazoning chiziqli qism fazosiga chiziqli almashtirishga nisbatan invariant deyiladi. Agar qism butun fazo bilan ustma-ust tushmasa, va faqat nollardan iborat bo’lmasa qism fazoga xos qism fazo deyiladi. Noldan farqli vektor almashtirishga nisbatan invariant qism fazoning qandaydir xos qism fazosida yotishi uchun

vektorlarning chiziqli erkli bo’lishi zarur va yetarli.
Shuning uchun, holatning umumiylik shartining bajarilishi, ko’pyoqli qirralaridan biriga yo’nalishdosh hech qanday vektor chiziqli almashtirishga nisbatan invariant bo’lgan hech qanday xos qism fazoda yotmasligini bildiradi.
vektorlar ko’pyoqlining uchlari bo’lsin. ko’pyoqlining qandaydir qirrasiga yo’nalishdosh bo’lgan ixtiyoriy vektor ko’rinishga ega, bu yerda va - mos qirralar bo’lsa, u holda bo'lganda , ustunlardan tuzilgan matritsalarning determinantlari noldan farqli bo’lsa, holatning umumiylik shartining bajarilishi ravshan. ni ko’rish qiyin emas. Agar ixtiyoriy matritsa va ixtiyoriy qavariq, yopiq chegaralangan ko’pyoqli uchun doimo matritsaning elementlarini etarlicha kichik o’zgartirish bilan barcha bunday diterminatlar noldan farqli bo’ladi va holatning umumiylik sharti bajarilishini ko’rish qiyin emas. Agarda holatning umumiylik sharti bajarilsa, u holda qavariq ko’pyoqli chqkli sondagi qirralarga ega bo’lganligi uchun matritsaning elementlerini va ko’pyoqlining uchlarini ihtiyoriy kichik o’zgarish bilan bu shartni buzish mumkin emas.
Shuning uchun holatning umumiylik sharti o’zgaruvchan emas, chunki u faqat kamdan-kam holarda bajarilmasligi mumkin, uning bajarilishini doimo matritsaning elementlarini etarlicha kichik o’zgartirish bilan bajarilishini ta’minlash mumkin. Bundan tashqari, boshqariladigan sistema ((2.7) tenglamaning koyeffitsiyentlari va ko’pyoqli uchlarining koordinatalari) parametlarining bu hossasi kichik toyishlarga nisbatan tug’un bo’ladi.
Quyidagi natija: holatning umumiylik shartining bajarilishi, (2.2) qo’shma sistemaning ihtiyori aynan noldan farqli yechimi bo’yicha 1.3) maksimum shartini qanoatlantiruvchi boshqaruvni ko’pyoqli uchlarida qiymatlar qabul qilivchi, bo’lakli o’zgarmas funksiya sifatida yagona ko;rinishda aniqlash imkoniyatini berishini ko’rsatadi.

2.4