Yuqori tartibli tenglamalarning tartibini pasaytirish. Oʻzgaruvchilariga nisbatan bir jinsli va umumlashgan bir jinsli yuqori tartibli tenglamalarni integrallash

2-Misol.


Oraliq integrallari

n- chi tartibli

(13)

differensial tenglama berilgan bo’lsin.

Ma’lumki, bu tenglamaning umumiy integrali a ixtiyoriy ta o’zgarmassonlarorasidagi

(14)

bog’lanishdan iborat edi.

Boshqacha qilib aytganda (14) tenglik va undan ga nisbatan ketma-ket olingan ta hosilalaridan tuzilgan tenglamalar sistemasidan ixtiyoriyo’zgarmas larni yo’qotish natijasida (13) tenglama hosil bo’lsa, (14) ifodaga (13) ning umumiy integrali deyiladi.

Faraz etaylik

(15)

ifoda berilgan bo’lsin.

Bunda ixtiyoriyo’zgarmassonlar (15) ni ga nisbatan ketma-ket kmarta differensiallaymiz.

(16)

1 ta (15) va (16) tenglamalardan ta ixtiyoriy o’zgarmas sonlarni yo’qotish natijasida (13) tenglama hosil bo’lsa (15) ga (13) tenglamaning oraliq integrali deyiladi.

Agar oraliq integrali bitta ixtiyoriy o’zgarmas ga bog’liq bo’lsa, ya’ni

bunga (13) differensial tenglamaning birinchi integrali deyiladi.

Agar (15) ifodani differensial tenglama deb qarasak, uning o’zi ham - tartibli differensial tenglamadan iborat bo’ladi. Bu tenglamaning har qanday yechimi (13) tenglamaning ham yechimi bo’ladi.

Haqiqatdan ham (15) tenglamaning yechimi bo’lsa, u (15) va (16) tenglamalarni ayniyatga aylantiradi. (13) esa (15) va (16) ning natijasi bo’lgani sababli, bu funksiya (13) ni ham qanoatlantiradi. Ya’ni u (13) ning ham yechimi bo’ladi.

Agar (15) ni ga nisbatan marta ketma-ket integrallasak, uning umumiy integralida ixtiyoriy sonlardan tashqari ixtiyoriy o’zgarmas sonlar ham qatnashadi.

Yuqorida aytilganlarga asosan bu umumiy integral, (13) tenglamaning ham umumiy integrali bo’ladi.

Demak (13) differensial tenglama (15) ko’rinishdagi oraliq integraliga ega bo’lsa, uni integrallash masalasi chi tartibli differensial tenglamaning integrallash masalasiga keltiriladi.