Yulduzlarning muntazam politoplari geometrisi

§ 2. KATTA IKOSAHEDRAL GEOMETRIYASI

2.1. Pentagram va uning ochilishi. Besh qirrali yulduz

hamma uchun yaxshi ma'lum (15-rasm). U muqaddas edi

qadimgi davrlarda tanish bo'lgan, chaqirgan Pifagorlar orasida

uning penta grammi .

Shakl 15. Pentagramma

Muntazam qavariq beshburchakdan beshburchakgacha

yoki uning diagonallarini chizish orqali olish mumkin (16a-rasm) yoki

uning tomonlarini davom ettirish (16b-rasm). Ikkinchi holda, to'g'ri

pentagram olingan qavariq beshburchak

ma, deb ataladi Pentagram asosiy va uning markazi O hisoblanadi markazi

trombentagram .

Shakl 16a.

Shakl 16b.

Pentagram,

Pentagram,

beshburchakka yozilgan

beshburchak atrofida sunnat qilingan

19-bet

o'n to'qqiz

Agar rasmda muntazam konveks beshburchak bo'lsa

16a bir tomonga, keyin uning diagonali uzunligiga teng

"oltin qism" F qiymatiga teng , bu erda F = 0,5 (

,

va ushbu diagonallar kesishgan segmentlar uzunliklarining qiymatlari

tavba qilish, bir-birlarini sindirish 17-rasmda ko'rsatilgan

ph = 1 / F , ya'ni φ = 0,5 (

). Φ + φ 2 = 1 ekanligini eslang .

Shakl 17. Pentagrammaning oltin qismi

Pentagram to'g'ri deb belgilanishi mumkin

burchaklari 0,2π bo'lgan besh zanjirli yopiq polilin (18-rasm), ya'ni.

bir o'lchovli raqam sifatida.

18-rasm.

Besh zanjirli yopiq polilin (pentagram)

20-bet

yigirma

Ammo Kepler pentagramlarni ularning ko'p qirrali yuzlari sifatida ko'rdi

taxalluslar - katta va kichik stellat dodecahedrons. Shuning uchun,

katta yulduzli dodekaedrni davolash

ko'p qirrali sirt, biz pentagramni "uchburchak" qilamiz

P markazidan tortib beshta teng uchburchakka

pentagram P uchlarida tra O segmentlari (19-rasm). Penta

gramm P qirrasi yopishtirilgan, ko'p qirrali yuzaga aylanadi

burchaklari 0,1π bo'lgan beshta yonbosh uchburchakdan yasalgan,

0,1π va 0,8π (20-rasm). Biz buni ko'p qirrali deb belgilaymiz

TP belgisi bo'lgan sirt . Va bunday ko'p qirrali yuzaning chekkasi

nosti TP - muntazam yopiq beshta zanjirli polilin .

19-rasm. "Uchburchak"

Shakl 20. Uchburchakning burchaklari

pentagramlar

Markazi Ey Pentagram R , bu ko'p qirrali eng yuksagi bo'ladi

egri chiziqli sirt 2π - (0,8π) × 5 = –2π.

"Uchburchak" qalamning Eyler xarakteristikasi χ ( TP ) -

P yorlig'i 1 ga teng, chunki 6 - 10 + 5 = 1.

penta- deb hisoblasak, natija ham olinadi.

gramm 5 ta tepa, 5 ta tomon va ulardan biri cheklangan

mintaqa, chunki 5 - 5 + 1 = 1. Shuning uchun hisoblash

ko'p qirrali yuzalarga, yuzlarga xos Eyler

ulardan pentagramlar (va bu kichik va katta)

stelated dodecahedrons), bularni "uchburchak" qilishning hojati yo'q

pentagram va bunday ko'p qirrali yuzlar sonini ko'rib chiqing

ushbu beshburchaklarning sonini yuzalar.