Yulduzlarning muntazam politoplari geometrisi

§ 3. GEOMETRIYA

Katta yulduzli DOECAHEDRON

3.1. Katta stelled dodecahedron qurilishi.

Katta yulduzli dodekaedr 3-rasmda ko'rsatilgan. Biz

uni GSD belgisi bilan belgilang . Keling, o'qish uchun takrorlaymiz

rasm 3:

Shakl 37. GSD katta stellated dodecahedron

O'n ikki yuzlari gsd Pentagramlar - P 1 , ..., P 12 - kuni

pentagramlarga muntazam beshburchaklarni to'ldirish orqali nurlanish

I ikosaedronning yon qirralari bo'lgan Q 1 , ..., Q 12 .

Keling, quyidagi beshburchaklarni sanab o'tamiz Q 1 , ..., 12- savol :

34-bet

34

1- savol : A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 2 ; 2- savol : A 3 A 1 A 6 A 9 A 8 A 3 ; 3- savol : A 4 A 1 A 2 A 8 A 7 A 4 ;

4- savol : A 5 A 1 A 3 A 7 A 11 A 5 ; 5- savol : A 6 A 1 A 4 A 11 A 10 A 6 ; 6- savol : A 1 A 5 A 10 A 9 A 2 A 1 ;

7- savol : A 8 A 12 A 11 A 4 A 3 A 8 ; 8- savol : A 7 A 3 A 2 A 9 A 12 A 7 ; 9- savol : A 2 A 6 A 10 A 12 A 8 A 2 ;

10- savol : A 6 A 5 A 11 A 12 A 9 A 6 ; 11- savol : A 5 A 4 A 7 A 12 A 10 A 5 ; 12- savol : A 7 A 8 A 9 A 10 A 11 A 7 (3.1).

Yigirma yuzning har birida t k

ikosahedron I qo'shiladi

uchburchagi "nur" tepasi B k bilan

uchburchakdan tashkil topgan

taxalluslar - o'sha pentagramlarning "nurlari"

GSD (38-rasm).

Shakl 38. Katta stelled dodecahedrning qurilishi

Qulaylik uchun biz ikosahedron I yuzlarini qayta nomlaymiz :

t 1 : A 1 A 2 A 3 ; t 2 : A 1 A 3 A 4 ; t 3 : A 1 A 4 A 5 ; t 4 : A 1 A 5 A 6 ; t 5 : A 1 A 6 A 2 ;

t 6 : A 2 A 6 A 9 ; t 7 : A 2 A 9 A 8 ; t 8 : A 2 A 8 A 3 ; t 9 : A 3 A 8 A 7 ; t 10 : A 3 A 7 A 4 ;

t 11 : A 4 A 7 A 11 ; t 12 : A 4 A 11 A 5 ; t 13 : A 5 A 11 A 10 ; t 14 : A 5 A 10 A 6 ; t 15 : A 10 A 9 A 6 ;

t 16 : A 9 A 10 A 12 ; t 17 : A 10 A 11 A 12 ; t 18 : A 11 A 7 A 12 ; t 19 : A 7 A 8 A 12 ; t 20 : A 8 A 9 A 12 (3.2).

Har bir uchburchak "nurlarining" uchburchaklar ustidagi tepalari

t 1 , ..., t 20 anglatadi B 1 , ..., B 20 (mos ravishda). Bino

P 1 , ..., P 12 pentagramlari va ularning B 1 , ..., B 20 tepaliklari tasvirlangan

Pentagram P 5 uchun 38-rasmda .

Masalan, B 5 nuqta A 10 A 6 , A 8 A 2 nurlarining umumiy nuqtasidir

va t 5 uchburchagi ustida A 4 A 1 : A 1 A 2 A 6 ; B 1 umumiy nuqta

Sahifa 35

35

t 1 uchburchagi ustidagi A 5 A 1 , A 9 A 2 va A 7 A 3 nurlari : A 1 A 2 A 3 ; nuqta

B 2 - uchburchak ustidagi A 6 A 1 , A 8 A 3 va A 11 A 4 nurlarining umumiy nuqtasi

com t 2 : A 1 A 3 A 4 va boshqalar.

Keling, GSD ko'pburchagi - pentagramning yuzlarini sanab o'tamiz

P 1 , ..., P 12 .

P 1 = B 6 B 10 B 14 B 8 B 12 ; P 2 = V 2 V 15 V 9 V 4 V 20 ; P 3 = V 3 V 7 V 11 V 5 V 19 ;

P 4 = V 1 V 18 V 4 V 9 V 13 ; P 5 = V 2 V 17 V 5 V 11 V 15 ; P 6 = V 3 V 16 V 1 V 13 V 7 ;

P 7 = V 2 V 20 V 12 V 8 V 17 ; P 8 = V 1 V 16 V 10 V 6 V 18 ; P 9 = V 5 V 17 V 8 V 14 V 19 ;

P 10 = B 4 B 18 B 6 B 12 B 20 ; P 11 = V 3 V 19 V 14 V 10 V 16 ; P 12 = V 7 V 13 V 9 V 15 V 11 .

Ushbu ro'yxat GSD yo'nalishini ham tasdiqlaydi , shuning uchun

bilan ko'rsatilgan pentagramlarning umumiy tomonlarining yo'nalishi sifatida

tasdiqlangan.

3.2. GSD ko'pburchagi uchlari koordinatalarini hisoblash .

X , y , z dekartiy koordinatalarini boshida nuqtada qayta kiriting

Oh , biz K kubni tepaliklar bilan (± 1, ± 1, ± 1) tuzatamiz va ko'rib chiqamiz

Ikosaedr I , uning tepalari A 1 , ..., A 12 yuzlarida yotadi

kub K va quyidagi koordinatalarga ega (22-rasm):

A 1 (, 0, 1), A 2 (-, 0, 1), A 3 (0, –1,), A 4 (1, -, 0),

A 5 (1 ,, 0), A 6 (0, 1,), A 7 (0, –1, -), A 8 (–1, -, 0),

A 9 (–1 ,, 0), A 10 (0, 1, -), A 11 (, 0, –1), A 12 (-, 0, –1).

I polyhedron haqida , biz u K kubga yozilgan deb aytamiz .

Biz, shuningdek, dodecahedron ko'rib chiqamiz D , qaysi haqida

biz uni K atrofida sunnat qilingan deb aytishimiz mumkin . Sakkizta tepalik

D kafedrasi K kubning tepalariga to'g'ri keladi va qolgan 12 qismi

tepaliklar K kubdan tashqarida yotadi .

Keling, ularning koordinatalarini ko'rsatib, ushbu 20 nuqtani sanab o'tamiz

(rasm 40):

S 1 (0, -, F ), S 2 (1, –1, 1), S 3 ( F , 0,), S 4 (1, 1, 1), S 5 (0 ,, F ),

S 6 (–1, 1, 1), S 7 (- F , 0,), S 8 (–1, –1, 1), S 9 (-, - F , 0), S 10 (, - F , 0),

S 11 (1, –1, –1), S 12 ( F , 0, -), S 13 (1, 1, –1), S 14 (, F , 0), S 15 (-, F , 0 ),

S 16 (–1, 1, –1), S 17 (0, - F ), S 18 (0, -, - F ), S 19 (–1, –1, –1), S 20 (- F , 0, -).

Sahifa 36

36

Bunday dodekaedrning qurilishi, masalan, tasvirlangan

Darslikning 26.3-beti [3].

Shakl 39. Dodekaedr kubni aylanib chiqdi

Biz tanlagan koordinatalar tizimida B 1 , ..., B 20 nuqtalar

quyidagi koordinatalarga ega:

B 1 (0, –1, F 2 ), B 2 ( F , - F , F ), B 3 ( F 2 , 0, 1), B 4 ( F , F , F ), B 5 (0, 1) , F 2 ),

B 6 (- F , F , F ), B 7 (- F 2 , 0, 1), B 8 (- F , - F , F ), B 9 (–1, - F 2 , 0),

B 10 (1, - F 2 , 0), B 11 (- F , F , - F ), B 12 ( F 2 , 0, 1), B 13 ( F , F , - F ),

B 14 (1, F 2 , 0), B 15 (–1, F 2 , 0), B 16 (- F , F , - F ), B 17 (0, 1, - F 2 ),

B 18 (0, –1, - F 2 ), B 19 (- F , - F , - F ), B 20 (- F 2 , 0, –1).

Ushbu nuqtalar radiusi F 3 atrofida joylashgan va tepaliklardir

biz bir necha dodekahedron FD .

Masalan, B 5 nuqtasining koordinatalarini qayta tiklanish nuqtalari sifatida hisoblaymiz.

A 8 A 2 va A 4 A 1 to'g'ri chiziqlari kesimlari (38-rasm).

A 8 A 2 to'g'ri chiziq tenglamasi :

(bitta)

Shuning uchun A 8 A 2 chiziq tekislikning kesishishi hisoblanadi

stey:

37-bet

37

x - φy + φ = 0 va y - φz + φ = 0.

A 4 A 1 to'g'ri chiziq tenglamasi :

(2)

Shuning uchun A 4 A 1 chiziq tekislikning kesishishi hisoblanadi

tosh

Point B 5 uch samolyot kesish nuqtasi hisoblanadi:

Ushbu tizimning echimi aniq: x = 0, y = 1, z = F 2 .

B 5 nuqtasining koordinatalarini oldi (0, 1, F 2 ).

Shunday qilib, biz qurgan katta yulduzli dodekaedr

GSD qavariq dodekaedron FD ga yozilgan .

Sakkizta nuqta aniq: B 2 ( F , - F , F ), B 4 ( F , F , F ), B 6 (- F , F ,

F ), B 8 (- F , - F , F ), B 11 (- F , F , - F ), B 13 ( F , F , - F ), B 16 (- F , F , - F )

va B 19 (- F , - F , - F ) - kubning tepalari (uning tabiiyligi)

tomonidan bildirmoq FK ), va qolgan 12 vertices yuqorida yolg'on

bu kubning yum.

Agar G ( φ ) gomotetiyasini φ va koeffitsienti bilan bajaradigan bo'lsak

markazi O , keyin V i nuqtalari

S i nuqtalariga o'ting

shundan sakkiztasi

ball: C 2 , C 4 , C 6 , C 8 , C 11 , C 13 , C 16 , C 19 - kubning tepasiga aylanadi

By . Va dodecahedron ФD bo'ladi dodecahedron olingan D homothety G ( Ф ).

3.3. Qutbiy transformatsiya. Qutbiy konversiya

π S soha nisbatan S ( r radiusli) R edi J. Ada- davomida o'rganib

mara [1] (502-505-betlar) va A. D. Aleksandrov [2] monografiyalari.

(I bob, 5-§, 4-band). Keling, asosiy ta'riflarni va muhimlarni eslaylik

Quyida qutb transformatsiyasi haqidagi eng tezkor faktlar keltirilgan.

Biz uch o'lchamli Evklid fazoda tuzatish E 3 bo'lmagan

radiusi r bo'lgan S ( r ) sfera , markazi O da . Qachon,

qachon r = 1, biz faqat yozish S .

38-bet

38

A tekisligi O nuqta va OO 1 segmentidan o'tmasin

- perpendikulyar O nuqtadan a ga tushgan (40-rasm).

Π S konvertatsiya qilish a tekislikni a va ga to'g'ri keladi

OO 1 nurida yotgan A = π S (a) nuqta , bu

OA · OO 1 = r 2 .

(bitta)

Shakl 40. Qutbiy transformatsiya

A nuqta o'zgarganda a tekislikning qutbi deyiladi

Nii πS .

OO 1 = r bo'lganda a tekislik S ga va nuqtaga tegishi aniq

teginish uning ustuni bo'ladi: nuqta A = O 1 (41-rasm):

Shakl 41. a tekislik S sharga tegib turadi

Har bir nuqta uchun A yilda E 3 , nuqta farq O , o'zgartirish

g S tekislikni a ga perpendikulyar qilib belgilaydi

OA nurini va shu nurni O 1 nuqtada shunday kesib o'tadiki

OA · OO 1 = r 2 .

39-bet

39

Bunday holda, a tekis qutbli nuqta A deb ataladi .

Qutbiy transformatsiya saqlanib qolishi [1] da isbotlangan

nuqta va tekislikning tegishli (tushish) munosabati

tosh. Aynan:

Agar A nuqta B nuqtaning qutb tekisligida yotsa, u holda

B nuqta A nuqtaning qutb tekisligida yotadi.

Agar E 3 ga to'rtburchaklar dekart koordinatalarini kiritsangiz x 1 ,

Boshi O va A nuqta bo'lgan x 2 , x 3 bu tizimda koordinatalarga ega

a 1 , a 2 , a 3 , keyin π S ( A ) tekislikning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = r 2 .

(2)

Tenglama (2) bo'lgan a tekislik qutbli o'zgarishi aniq

Development S rivojlanish A nuqtasini ( a 1 , a 2 , a 3 ) bog'laydi .

Keling, to'g'ri chiziqlarning qutblanishiga murojaat qilaylik. Biz ishlatamiz

dinatlar. Ularni har doim shu qatorni tanlashi mumkin

L koordinata tekisligida yotadi x 3 = 0 va tenglama bilan berilgan

tomonidan x 1 = a , a > 0 liniyasi o'z ichiga samolyot dasta L

(tekislikni x 3 = 0 hisobga olmaganda ), tenglamalar bilan berilgan

x 1 / a + x 3 / λ = 1, bu erda λ raqamli parametr.

Ushbu tekisliklarning qutblari koordinatalariga ega x 1 = r 2 / a ,

x 2 = 0, x 3 = r 2 / λ va koordinata tekisligida M to`g`ri chiziqdan o`tamiz

x o'qi 1 ga perpendikulyar bo'lgan va kesishgan suyak x 2 = 0

u bilan x 1 = r 2 / a nuqtada

Shakl 42. Polar chiziqlar

40-bet

40

Ushbu mulohazalar quyidagi xulosaga olib keladi: qutblar

ba'zi bir to'g'ri chiziq L dan o'tgan tekisliklar to'plami,

L to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan M to'g'ri chiziqni to'ldiring.

bu chiziqlarning pendikulyar AB (A - L nuqta va B - M nuqta)

O nuqtadan o'tgan to'g'ri chiziqda yotadi va

OA · OV = r 2 .

(to'rt)

L va M chiziqlar o'zaro qutbli deyiladi .

Biz muhim bir maxsus ishni qayd etamiz. Agar OA = r bo'lsa , unda OV = r ,

va bu ikkala chiziq ham S ( r ) sharning teginuvchi tekisligida yotadi .

3.4. Ko'p qirrali raqamlarning ikkilikligi tushunchasi. Uchun

egizaklar haqidagi turli xil kitoblarda turli xil polyhedra sinflari

Polyhedra soni turli xil yo'llar bilan aytiladi. Masalan,

maktab darsliklarida ikkita qoida dual deb nomlangan

ulardan biri tepaliklari yotgan poliedra

boshqasining yuzlari markazlarida.

Ikkala kombinatoriya (topologik) ikkilik

ko'p qirrali qirralarning soni va sonining tengligi deb hisoblanadi

ularning birinchisining yuzlari ikkinchisining tepalari soniga teng, aksincha,

og'iz, ikkinchisining yuzlari soni birinchisining tepalari soniga teng. Masalan

har qanday parallelepiped kombinatorial ravishda ikki tomonlama va

oddiy oktaedr.

Ajoyib ikosaedr GI va buyuk

dodecahedron stellated gsd tadbirda deb yuzlari gsd

"uchburchak" bo'lmagan 12 ta pentagramni qabul qiling. Keyin

GSD uchun tepalar soni 20 ta, qirralar soni 30 ta va soni

yuzlar soni - 12. Va GI tepalari soni - 12, bu raqam

30 qirrasi va 20 yuzi bor.

Kichkintoylarning yuzlarida xuddi shunday kelishuv bilan

stdated MSD dodecahedron , ularni 12 pentagram deb hisoblasa,

"uchburchak" bo'lmagan, biz kombinatorga etib boramiz

kichik yulduzli dodekaedron MSD ning ikkilikliligi va katta

dodekaedron GD .

Kepler-Poinsot ko'p qirrali adabiyotlarida mualliflar

odatda faqat shu ikkilik nazarda tutilgan edi. Ammo qila olasiz

ularning chuqurroq ikkilikini, ya'ni

41-bet

41

sozlash orqali bu juft polyhedralarda qutbli o'zaro bog'liqlik

GSD va MSD yuzlari uchburchakda emas.

Aynan shu qutbli o'zaro bog'liqlik III bobda muhokama qilinadi.

"Ko'p qirrali va yarim qirrali ko'pburchak

taxalluslari "ularning kitobi [15] IM Smirnov va VA Smirnov, emas

bu ikkilikni qutbli yozishmalar deb atash.

3.5. Buyuk ikosaedr GI ning qutbli o'zaro aloqasi va

katta yulduzli dodekaedr GSD .

Tepaliklar deb taxmin qilib, koordinatalar usulidan foydalanamiz

ikosahedron men K kub ustida yotaman va buyuk ikosahedron GI yozilgan

ikosaedr I (§ 2 ga qarang).

Buyuk ikosaedr GI qirralarining o'rta nuqtasi (ya'ni o'rta nuqta)

mini-diagonallar icosahedron yil I ) nuqtasi o'chirildi O masofada

nie.

Masalan, O (0,) koordinatalarning kelib chiqishidan OA 1, 8 segmentining uzunligi

0, 0) A 1.8 A ning o'rtasiga (0.5 (- 1), –0.5, 0.5) A 1 A 8 segmenti teng

ustida .

A 1 A 8 qirrasi va OA 1, 8 segmenti o'zaro perpendikulyar bo'lgani uchun

bor, u holda S () shar katta GI ikosaedrining qirralariga tegadi .

S () sharga nisbatan qutbli konversiya belgilanadi

π S () ni olamiz .

A 1 qutbli pentaugla cho'qqisi tasvirini quramiz .

Buyuk ikosaedr GI ning A 1 A 8 A 11 yuzi tekisligining tenglamasi

x - Fu = 2 shakliga ega . Keyin A 1 A 8 A 11 tekisligining ustuni , co-

(2) tenglikka ko'ra, nuqta (, - F , 0) bo'ladi. Ammo bu eng yaxshi narsa

uchun C 10 (- F , 0) dodecahedron D , kub cheklaydi K .

Qolganlari uchun shunga o'xshash hisob-kitoblarni amalga oshirishimiz mumkin

buyuk ikosaedr GI ning yuzlari . Birinchidan, keling, ver

avtobus A 1 .

A 1 A 8 A 10 yuz tekisligining tenglamasi quyidagicha: - x + y + z = 2 .

Uning qutbasi S 6 nuqtasi (–1, 1, 1).

A 1 A 7 A 10 yuz tekisligining tenglamasi quyidagicha: Fx - z = 2 . U

qutb - S 12 nuqta ( F , 0, -).

Yuz tekisligining A 1 A 7 A 9 tenglamasi quyidagicha: - x - y + z = 2 .

Uning qutbasi C 8 nuqtasi (–1, –1, 1).

42-bet

42

A 1 A 9 A 11 yuz tekisligining tenglamasi quyidagicha: x + Fy = 2 . U

qutb - C 14 (, F , 0) nuqta .

Shunday qilib, S S () qutbli o'zgarishi bilan , beshburchak at

buyuk ikosaedr GI ning vertikali A 1 pentagramga o'tadi

C 10 C 6 C 12 C 8 C 14 , dodecahedron yozilgan D (Fig. 43), tasvirlangan qaysi

K kub atrofida qadr-qimmat :

Shakl 43. Kutupli tasvir pentaugla apex A 1

Xuddi shunday, har bir tepalik A i

( i = 2, 3 .., 12) da o'tadi

qutbli transformatsiya lar S () ba'zi bir pentagramga,

D ga yozilgan dodekaedr . Bu o'n ikki pentagram

katta yulduzli dodekaedron GSD yuzlari yozilgan holda

dodekaedrga D (44-rasm). Ushbu holatni biz allaqachon ko'rib chiqdik.

tushmoq.

Shakl 44. Dodekaedrga yozilgan katta yulduzli dodekaedr

43-bet

43

Yigirma har bir nuqtada S 1 , S 2 , ..., S 20 - dode tepalari-

kahedron D - bu pentagramlarning uchtasi birlashadi. Ushbu fikrlar

S 1 , S 2 , ..., S 20 ikkalasi ham o'n ikki burchakli D va

katta yulduzli dodechedron GSD tepaliklari .

Ular boshqa yo'l bilan qurilishi mumkin edi. Keling, buni ko'rsatamiz

C 10 = π S () nuqta misolida tuzilish ( A 1 A 8 A 11 ).

Qovurg'alar o'rtasida orqali A 1 A 8 va A 1 A 11 uchburchak A 1 A 8 A 11 pro

biz ushbu qirralarga perpendikulyar va teginuvchi to'g'ri chiziqlar chizamiz

shar S (). Ushbu to'g'ri chiziqlar qutbli to'g'ri ( A 1 A 8 ) va ( A 1 A 11 ) bilan

mas'uliyat bilan. Ushbu satrlarni ⊥ ( A 1 A 8 ) va ⊥ ( A 1 A 11 ) bilan belgilaymiz . Qayta

⊥ ( A 1 A 8 ) va ⊥ ( A 1 A 11 ) to'g'ri chiziqlar bo'limi C 10 (, - F , 0) nuqta bo'ladi ,

buni to'g'ri chiziqlar tenglamalarini yozish orqali tekshirish mumkin ( A 1 A 8 ) va

⊥ ( A 1 A 11 ).

Ushbu bo'limning natijasi teorema.

Teorema . S () sharga nisbatan o'zaro qutbli

katta ikosahedron GI; va katta yulduzli dodekaedron GSD.

SAVOLLAR VA MASQALAR

Barcha savollar va mashqlar ko'rib chiqilgan ko'pburchakka tegishli

ushbu xatboshida.

1. Katta yulduzli dodekaedr GSD simmetriya markaziga egami?

2. Katta yulduzli dodekaedron GSD simmetriya o'qlariga egami? Qanday-

ularga?

3. Katta yulduzli dodekaedron GSD simmetriya tekisliklariga egami?

Ularning soni qancha?

4. GSD atrofini qanday aniqlagan bo'lardingiz? Uni qanday topish mumkin

dius? Hisoblang.

5. GSD qamrab oladigan doirani qanday aniqlar edingiz? Uning radiusini qanday topish mumkin?

Hisoblang.

6. Nima uchun GSD ning barcha qirralariga tegadigan shar bor? Uni qanday topish mumkin

radiusmi? Hisoblang.

7. Sferaga nisbatan qutblanish qanday o'zgaradi? Nima

uning xususiyatlari?

8. GI va GSD politoplarining qutbli ikkilikliligi qanday o'rnatiladi?

Sahifa 44

44