Misol. 1-tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish. Ushbu tenglamaga mos xarakteristik tenglamalar sistemasi
ko’rinishdagi bitta o’zgaruvchilari ajraladigan oddiy differensial tenglamadan iborat bo’ladi. Uni
shaklda tasvirlab, integrallaymiz va natijada berilgan tenglamaning
X= +c
yoki
C=
xarakteristik chiziqlari oilasini olamiz. Natijada berilgan tenglamaning umumiy yechimi
U=F(x- )
funksiyadan iborat bo’ladi. Bunda uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy funksiya.
Bu misollardan ko’rinib turibdiki, xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama cheksiz ko’p sondagi yechimlarga ega ekan. Unga qanday qo’shimcha shart qo’yilsa, bu tenglama yagona yechimga ega bo’ladi degan savol muhim fizik va matematik ahamiyatga ega hisoblanadi. Quyida biz n ta erkli o’zgaruvchili funksiyaga nisbatan ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning umumiy ko’rinishini keltiramiz:
, (1)
bunda , va funksiyalar qaralayotgan sohada ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi berilgan funksiyalar.
Biz ushbu kursda asosan ikki o’zgaruvchili funksiyalar bilan shug’ullanamiz va ko’p o’zgaruvchili hol uchun tegishli ko’rsatma beramiz. Bu holda ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli tenglama quiydagi ko’rinishda yoziladi:
(2)
Agar (2) tenglamada erkli o’zgaruvchilarni o’zaro bir qiymatli
(3)
almashtirish bajarsak (2) differensial tenglamaga ekvivalent tenglamani hosil qilamiz. Ushbu yangi o’zgaruvchilarda (2) tenglamada ishtirok etayotgan xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
(4)
(4) dagi ifodalarni (2) ga qo’yamiz va bir xil xususiy hosilalarni jamlab, (2) ga ekvivalent bo’lgan quyidagi xususiy hosilali differensial tenglamaga kelamiz:
. (5)
Bunda koeffisientlardagi funksiyalar (2) tenglama koeffisientlari orqali quyidagicha ifodalanadi
(6)
Demak o’zaro bir qiymatli akslantirishlar natijasida xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama yana chiziqli differensial tenglamaga o’tar ekan. (6) dan ko’rinib turibdiki, agar biror funksiya
(7)
1-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimi bo’lsa, u holda (6) da deb olinsa bo’ladi. Xuddi shu kabi mulohazalarni va koeffisientlar uchun ham aytish mumkin. Demak yangi o’zgaruvchilarni (5) diffrensial tenglamaning yuqori tartibli xususiy hosilalaridan ba’zilari nolga teng bo’ladigan qilibtanlash masalasi (7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimini topish bilan uzviy bog’liq ekan. 2-tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning aralash ikkinchi tartibli xususiy hosilalari qatnashmagan bu sodda shakli odatda uning kanonik shakli deb yuritiladi.
Kanonik shaklini ta’minlovchi (7) birinchi tartibli xusuiy hosilali differensial tenglamaning yechimga ega bo’lish masalasi (2) dtenglamaning xarakteristik tenglamasi deb ataluvchi
(8)
oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bilan uzviy bog’liq bo’ladi. Uning umumiy integrallariga odatda (2) tenglamaning xarakteristik chiziqlari deb yuritiladi. Yuqoridagi tasdiqni biz quyidagi lemmada keltiramiz.
Lemma. funksiya (7) birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli yechimi bo’lishi uchun ning (8) oddiy differensial tenglamaning umumiy integrali bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot.Zaruriyligi. Faraz qilaylik funksiya (7) birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamaning aynan o’zgarmasdan farqli biror yechimi bolsin. U holda
ayniyatga ega bo’lamiz. Uni quyidagi ayniyat bilan almashtiramiz
. (9)
Endi oshkormas munosabatdan funksiyani aniqlash mumkin deb, uning hosilasini qaraymiz
.
U holda (8) ni quyidagi
. (10)
Ta’kidlanganidek (9) ning ayniyat ekanligidan so’ngi tenglik ham sohada qaralayotgan har bir nuqtada bajariladi. Bu esa funksiya (8) ning umumiy yechimi ekanligini anglatadi. Bunday nuqtalar to’plami esa umumiy integralni beradi.
Yetarliligi. Faraz qilaylik (8) ning umumiy integrali bo’lsin. Qaralayotgan sohadan ixtiyoriy bir nuqtani olamiz. Va bu nuqtadan (8) ning shartni qanoatlantiruvchi biror integral chizig’ini o’tkazamiz. Endi shartni qanoatlantiruvchi integral egri chiziq uchun (10) ning o’rinli ekanligini olamiz. Undan esa (5) ning da bajarilishini hosil qilamiz. Lemma isbot bo’ldi. (8) oddiy differensial tenglama quyidagi ikki oddiy differensial tenglamaga ajraladi:
(11)
(11) dagi ildiz belgisi ostidagi ifodaning qaralayotgan nuqtadagi qiymatiga qarab (2) tenglama quyidagi 3 tipga ajraladi.
Ta’rif.1)Agar berilgan nuqtada bo’lsa (2) tenglama bu nuqtada giperbolik tipli deyiladi.
