Yo'nalishi bo'yicha hosila gradient

Rⁿ kichik to'plamni xaritada aks ettiradi Men ⊂ R ichiga Rⁿ. Agar g bir nuqtada farqlanadi v ∈ Men shu kabi g(v) = a, keyin

bu erda ∘ kompozitsion operator: ( f ∘ g)(x) = f(g(x)).
Umuman olganda, buning o'rniga Men ⊂ R^k, keyin quyidagilar mavjud:

qayerda (Dg)^T transpozitsiyani bildiradi Yakobian matritsasi.
Zanjir qoidasining ikkinchi shakli uchun, deylik h : Men → R kichik to'plamdagi haqiqiy qiymat funktsiyasidir Men ning Rva bu h nuqtada farqlanadi f(a) ∈ Men. Keyin

Boshqa xususiyatlar va ilovalar
Darajalar
Shuningdek qarang: Darajalar to'plami § darajalar gradientga nisbatan
Bir tekis sirt, yoki izosurface, ba'zi funktsiyalar berilgan qiymatga ega bo'lgan barcha nuqtalarning to'plamidir.
Agar f farqlanadigan, keyin nuqta mahsuloti (∇f )_x ⋅ v bir nuqtadagi gradientning x vektor bilan v ning yo'naltiruvchi hosilasini beradi f da x yo'nalishda v. Bundan kelib chiqadiki, bu holda ning f bu ortogonal uchun daraja to'plamlari ning f. Masalan, uch o'lchovli kosmosdagi tekis sirt shaklning tenglamasi bilan aniqlanadi F(x, y, z) = v. Ning gradienti F keyin yuzaga normaldir.
Umuman olganda, har qanday ko'milgan yuqori sirt Riemann manifoldida shaklning tenglamasi bilan kesilishi mumkin F(P) = 0 shu kabi dF nol yo'q. Ning gradienti F keyinchalik yuqori sirt uchun normaldir.
Xuddi shunday, bir afinaviy algebraik gipersurf tenglama bilan aniqlanishi mumkin F(x₁, ..., x_n) = 0, qayerda F polinom hisoblanadi. Ning gradienti F gipersurfning singular nuqtasida nolga teng (bu singular nuqtaning ta'rifi). Yagona bo'lmagan nuqtada, bu nolga teng bo'lmagan normal vektor.
Konservativ vektor maydonlari va gradient teoremasi
Asosiy maqola: Gradient teoremasi
Funktsiyaning gradyenti gradient maydoni deyiladi. A (uzluksiz) gradient maydoni har doim a konservativ vektor maydoni: uning chiziqli integral har qanday yo'l bo'ylab faqat yo'lning so'nggi nuqtalariga bog'liq va uni gradient teoremasi (chiziq integrallari uchun hisoblashning asosiy teoremasi) bilan baholash mumkin. Aksincha, (uzluksiz) konservativ vektor maydoni har doim funktsiya gradienti hisoblanadi.
Umumlashtirish
The Yakobian matritsasi - bir nechta o'zgaruvchilarning vektorli qiymatli funktsiyalari uchun gradyanning umumlashtirilishi va farqlanadigan xaritalar o'rtasida Evklid bo'shliqlari yoki umuman olganda, manifoldlar.^[21][22] Orasidagi funktsiya uchun qo'shimcha umumlashtirish Banach bo'shliqlari bo'ladi Fréchet lotin.
Vektor gradyenti
Shuningdek qarang: Kovariant lotin
Vektorli maydonning umumiy hosilasi a bo'lganligi sababli chiziqli xaritalash vektorlardan vektorlarga, bu a tensor miqdor.
To'rtburchaklar koordinatalarida vektor maydonining gradienti f = ( f¹, f², f³) quyidagicha belgilanadi:

(qaerda Eynshteyn yig'indisi yozuvi ishlatiladi va tensor mahsuloti vektorlarning