Yo'nalishi bo'yicha hosila gradient

unga mos keladigan etishmayapti satrda keltirilgan. Iltimos yordam bering takomillashtirish tomonidan ushbu maqola tanishtirish aniqroq iqtiboslar. (2018 yil yanvar) (Ushbu shablon xabarini qanday va qachon olib tashlashni bilib oling)

Moviy o'qlar bilan ifodalangan gradient skalar funktsiyasining eng katta o'zgarish yo'nalishini bildiradi. Funktsiyaning qiymatlari kulrang shkalada ifodalanadi va qiymati oq (past) dan qorong'i (yuqori) gacha ko'tariladi.
Yilda vektor hisobi, gradient a skalar qiymatiga ega farqlanadigan funktsiya f ning bir nechta o'zgaruvchilar bo'ladi vektor maydoni (yoki vektorli funktsiya)  uning qiymati bir nuqtada  bo'ladi vektor^[a] uning tarkibiy qismlari qisman hosilalar ning  da  Ya'ni, uchun  , uning gradienti  nuqtada aniqlanadi  yilda n-o'lchovli bo'shliq vektor sifatida:^[b]

The nabla belgisi  , teskari uchburchak shaklida yozilgan va "del" deb talaffuz qilingan", degan ma'noni anglatadi vektorli differentsial operator.
Gradient ikkitaga teng lotin  : gradyanning bir nuqtadagi qiymati a teginuvchi vektor - har bir nuqtada vektor; hosilaning nuqtadagi qiymati esa a koteginuvchi vektor - vektorlarda chiziqli funktsiya.^[c] Ular shu bilan bog'liq nuqta mahsuloti ning gradiyenti f bir nuqtada p boshqa teginuvchi vektor bilan v ga teng yo'naltirilgan lotin ning f da p bilan birga funktsiya v; anavi,  .
Gradient vektori "eng tez o'sish yo'nalishi va tezligi" deb talqin qilinishi mumkin. Agar funktsiya gradyenti nuqtada nolga teng bo'lmasa p, gradient yo'nalishi bu funktsiya eng tez o'sadigan yo'nalishdir p, va kattalik gradyanning bu yo'nalishdagi o'sish tezligi.^{[10][11][12][13][14][15][16]} Bundan tashqari, gradient a nuqtada nol vektor bo'lib, agar u a bo'lsa statsionar nuqta (bu erda lotin yo'qoladi). Shunday qilib, gradient asosiy rol o'ynaydi optimallashtirish nazariyasi, bu erda funktsiyani maksimal darajaga ko'tarish uchun ishlatiladi gradiyent ko'tarilish.
Gradient ko'proq umumiy funktsiyalar uchun bir nechta umumlashmalarni tan oladi manifoldlar; qarang § umumlashtirish.
Motivatsiya

2D funktsiyasining gradyenti f(x, y) = xe^−(x2 + y²) funktsiya pseudocolor uchastkasida ko'k o'qlar sifatida joylashtirilgan.
Harorat a tomonidan berilgan xonani ko'rib chiqing skalar maydoni, T, shuning uchun har bir nuqtada (x, y, z) harorat T(x, y, z), vaqtdan mustaqil. Xonaning har bir nuqtasida, ning gradienti T o'sha paytda harorat eng tez ko'tarilib ketadigan yo'nalishni ko'rsatib beradi (x, y, z). Gradientning kattaligi haroratning bu yo'nalishda qanchalik tez ko'tarilishini aniqlaydi.
Balandligi dengiz sathidan balandligi bo'lgan yuzani ko'rib chiqing (x, y) bu H(x, y). Ning gradienti H bir nuqtada eng tik qiyalik tomon yo'naltirilgan tekislik vektori sinf o'sha paytda. Nishabning o'sha nuqtadagi tikligi gradient vektorining kattaligi bilan berilgan.
Gradient, shuningdek, skalar maydonining eng katta o'zgarish yo'nalishini emas, balki boshqa yo'nalishlarda qanday o'zgarishini o'lchash uchun ham ishlatilishi mumkin. nuqta mahsuloti. Aytaylik, tepalikdagi eng tik qiyalik 40% ga teng. To'g'ridan-to'g'ri tepalikka boradigan yo'l 40% nishabga ega, ammo tepalik bo'ylab burchak ostida aylanadigan yo'l sayozroq bo'ladi. Masalan, agar yo'l tepalikka qarab 60 ° burchak ostida bo'lsa (ikkala yo'nalish gorizontal tekislikka proyeksiyalanganda), u holda yo'l bo'ylab nishab gradient vektori va a orasidagi nuqta hosilasi bo'ladi birlik vektori yo'l bo'ylab, ya'ni 40% ga teng kosinus yoki 60% dan 20% gacha.
Umuman olganda, agar tepalikning balandligi ishlasa H bu farqlanadigan, keyin ning gradyenti H nuqta bilan birlik vektori tepalikning qiyaligini vektor yo'nalishi bo'yicha beradi yo'naltirilgan lotin ning H birlik vektori bo'ylab.
Ta'rif

Funktsiya gradyenti f(x,y) = - (cos²x + cos²y)² prognoz qilingan sifatida tasvirlangan vektor maydoni pastki tekislikda.
Skalyar funksiyaning gradienti (yoki gradient vektor maydoni) f(x₁, x₂, x₃, ..., x_n) bilan belgilanadi ∇f yoki ∇→f qayerda ∇ (nabla) vektorni bildiradi differentsial operator, del. Notation grad f shuningdek, odatda gradientni ifodalash uchun ishlatiladi. Ning gradienti f har qanday nuqta mahsuloti bo'lgan noyob vektor maydoni sifatida aniqlanadi vektor