Yo'nalishi bo'yicha hosila gradient

Rⁿ ga R har qanday alohida nuqtada x₀ yilda Rⁿ eng yaxshisini xarakterlaydi chiziqli yaqinlashish ga f da x₀. Taxminan quyidagicha:

uchun x ga yaqin x₀, qayerda (∇f )_x0 ning gradyenti hisoblanadi f da hisoblangan x₀va nuqta nuqta mahsulotini bildiradi Rⁿ. Ushbu tenglama ning ichidagi dastlabki ikkita shartga teng ko'p o'zgaruvchan Teylor seriyasi kengayishi f da x₀.
Gradient "lotin" sifatida
Ruxsat bering U bo'lish ochiq to'plam yilda Rⁿ. Agar funktsiya bo'lsa f : U → R bu farqlanadigan, keyin differentsial f ning (Fréchet) hosilasi f. Shunday qilib ∇f funktsiyasidir U kosmosga Rⁿ shu kabi

bu erda · nuqta mahsuloti.
Natijada, lotin uchun odatiy xususiyatlar gradientga mos keladi, garchi gradient lotin emas, balki lotin uchun dual:
Lineerlik
Agar shunday bo'lsa, gradient chiziqli f va g nuqtada farqlanadigan ikkita real qiymat funktsiyalari a ∈ Rⁿva a va β Ikkala doimiy, keyin af + .g da farqlanadi ava bundan tashqari

Mahsulot qoidasi
Agar f va g bir nuqtada farqlanadigan real qiymat funktsiyalari a ∈ Rⁿ, keyin mahsulot qoidasi mahsulot ekanligini tasdiqlaydi fg da farqlanadi ava

Zanjir qoidasi
Aytaylik f : A → R kichik to'plamda aniqlangan haqiqiy qiymatli funktsiya A ning Rⁿva bu f bir nuqtada farqlanadi a. Gradientga taalluqli zanjir qoidasining ikki shakli mavjud. Birinchidan, funktsiya deylik g a parametrik egri; ya'ni funktsiya g : Men →