Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati kirish kurs ishi mavzusining dolzarbligi

4-§. Ayrim tadbiqiy masalalar
1 1. Ellips, giperbola, parabola ta'rifi. Ellips - bu tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, ular uchun berilgan ikkita F 1 va F nuqtalarigacha bo'lgan masofalar yig'indisi F 1 va F 1 orasidagi masofadan katta bo'lgan doimiy qiymatdir. M (, x) F 1 O F x rasm. F 1 va F nuqtalar ellipsning markazlashtirilgan nuqtalari deb ataladi va ular orasidagi FF 1 masofa fokus masofasi bo'lib, u c bilan belgilanadi. M nuqta ellipsga tegishli bo'lsin. F1 M va F M segmentlari M nuqtaning fokal radiuslari deyiladi. F1F = c bo'lsin. Ta'rifga ko'ra, a> c. To'g'ri burchakli Ox dekart koordinata tizimini ko'rib chiqaylik, bunda F 1 va F fokuslari koordinata boshiga nisbatan simmetrik ravishda abscissa o'qida joylashgan. Ushbu koordinatalar tizimida ellips bilan tavsiflanadi kanonik tenglama: x + = 1, a b 1
2. Bu erda b = a c a va b parametrlari mos ravishda ellipsning katta va kichik yarim o'qlari deb ataladi. Ellipsning ekssentrikligi uning fokus masofasi c yarmining yarim katta o'qqa nisbatiga teng e soni, ya'ni. e =. Ellipsning ekssentrisiteti a 0 e tengsizliklarni qanoatlantiradi< 1. Случай c = 0 соответствует окружности, эксцентриситет окружности равен нулю. Фокальные радиусы точки M(x,) эллипса могут быть найдены по формулам r 1 = a ε x, r = a+ ε x. 3 Kanonik giperbola tenglamasi x a = b 1, ko'rinishga ega. bu yerda b = c a a va b raqamlari mos ravishda giperbolaning haqiqiy va xayoliy yarim o'qlari deyiladi. Mintaqada tengsizlik bilan aniqlangan giperbola yo'q. x a b Ta'rif. Giperbolaning asimptotalari to'g'ri chiziqlar bo'lib, b b = x, = x tenglamalar bilan berilgan. a a Giperbolaning M (x,) nuqtasining fokus radiuslarini r 1 = e x a, r = e x + a formulalar orqali topish mumkin. Giperbolaning ekssentrisiteti, ellipsdagi kabi, e = formulasi bilan aniqlanadi. Giperbolaning ekssentrikligi uchun e a> 1 tengsizligi to'g'ri ekanligini tekshirish oson. Ta'rif. Parabola - tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, uning F nuqtagacha bo'lgan masofasi F nuqtadan o'tmaydigan berilgan d to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofaga teng bo'ladi. F nuqta parabola fokusi deb ataladi va d to'g'ri chiziq direktrisa deyiladi. Fokusdan direktrisagacha bo'lgan masofa parabolaning parametri deb ataladi va p bilan belgilanadi. d M (x,)
4 F nuqtadan d chiziqqa tushirilgan perpendikulyar bo'lgan FD segmentining o'rtasidan Dekart koordinata tizimining boshi O ni tanlaymiz. Bu koordinatalar sistemasida fokus F ning koordinatalari F p p;0, d direktrisasi esa x + = 0 tenglama bilan berilgan. Parabolaning kanonik tenglamasi: = px. Parabola OF o'qiga nisbatan simmetrik bo'lib, parabola o'qi deb ataladi. Bu o’qning parabola bilan kesishgan nuqtasi O nuqtasi parabola cho’qqisi deyiladi. M nuqtaning fokus radiusi (x,) ya'ni. uning fokusgacha bo'lgan p masofasi r = x + formulasi bilan topiladi. 10B .. Ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi Ikkinchi tartibli chiziq tekislikdagi koordinatalari x va ax + ax + a + ax + a + a = 0, 11 1 tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalar to'plamiga ikkinchi tartibli chiziq aytiladi, bunda a11. , a1, a, a10, a0, a00 ba'zi haqiqiy sonlar va a, a, a bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu tenglama ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi deb ataladi va rr rr (Ax, x) + (b, x) + a = 0 vektor shaklida ham yozilishi mumkin, bunda 00 a11 a1 rr A =, a1 ab. = (a10; a0) , x = (x;). T A = A, u holda A kvadrat shakldagi matritsa r r r f (x) = (Ax, x) = a x + a x + a Ellips, giperbola va parabola tekislikdagi ikkinchi tartibli egri chiziqlarga misol bo'la oladi. Bu egri chiziqlardan tashqari ikkinchi tartibli egri chiziqlarning boshqa turlari ham mavjud bo'lib, ular x chiziqlar bilan bog'langan. Shunday qilib, masalan, tenglama = 0, bu erda a 0, b 0, a b 4,5 tekislikdagi kesishuvchi chiziqlar juftligini belgilaydi. Egri chiziq tenglamasi eng oddiy ko'rinishga ega bo'lgan koordinata tizimlari kanonik deyiladi. Transformatsiyalar tarkibidan foydalanib: o'qlarni a burchagi bo'ylab aylantirish, boshning nuqtaga parallel ko'rinishi (x0; 0) va abscissa o'qi atrofida aks etish, ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasi kanoniklardan biriga qisqartiriladi. tenglamalar, ularning asosiylari yuqorida sanab o'tilgan. 11BMisollar 1. Markazi koordinata boshi va abssissa o’qida joylashgan o’choqlari bo’lgan ellipsning kanonik tenglamasini tuzing, agar uning ekssentrisiteti e = va N (3;) nuqtasi 3-ellipsda yotganligi ma’lum bo’lsa. x a b Ellips tenglamasi: + = 1. Bizda bu =. a b a 3 9 Bundan a = b ekanligini hisoblaymiz. N (3;) nuqtaning koordinatalarini tenglamaga almashtirib, + = 1 va keyin b = 9 va a b 81 a = = 16 , ni olamiz. Demak, ellipsning kanonik tenglamasi 5 x + = 1 ga teng. 16, 9. Markazi koordinata boshida va o`choqlari abssissada joylashgan giperbolaning kanonik tenglamasini yozing, agar ning M 1 (5; 3) nuqtasi bo`lsa. giperbola va ekssentriklik e = berilgan. x Giperbolaning kanonik tenglamasi = 1. a b a + b = tengligidan bizda b = a 5 9. Demak, = 1 va a = 16. Demak, ellipsning kanonik tenglamasi = a a a x 16 5

6 3. Fokus radiusi 1,5 ga teng parabola = 10x nuqtalarni toping. E'tibor bering, parabola o'ng yarim tekislikda joylashgan. Agar M (x; parabolada yotsa, u holda x 0. Parametr p = 5. (;)) M x parabolaning kerakli nuqtasi, F fokusi, () direktrisasi bo'lsin. Keyin F, 5; 0, d: x =, 5. FM = r (M, d), keyin x +, 5 = 1,5, 10 bo'lgani uchun Javob: () 1 10;10 x =, = 100, = ± 10. Shunday qilib, biz ikkita ochko oldik. M 10; 10 M, () 4. X = 1 tenglama bilan berilgan giperbolaning o‘ng shoxida o‘ng fokusdan masofasi chap fokusdan masofasidan 16 9 2 marta kichik bo‘lgan nuqtani toping. Giperbolaning o'ng shoxchasi uchun fokus radiuslari r 1 = e x a va r = e x + a formulalari bilan aniqlanadi. Demak, e x + a = (e x a) tenglamani olamiz. Berilgan giperbola uchun a = 4, 5, c = 5 va e =. Shuning uchun x = 9,6. Demak, bizda = ± x 16 = ± d Javob: ikkita nuqta M 1 (9,6; 0,6 119), (9,6; 0,6 119) M. 5. Har qanday nuqta uchun masofa nisbati tenglamani toping. 1 x 8 = 0 to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa F (3; 0) nuqtasi e = ga teng. Chiziq nomini va uning parametrlarini belgilang. M x; kerakli chiziq, tenglik rost: Ixtiyoriy nuqta uchun () FM (x 3) + 1 = =. r (Ml,) x 8 6

7 Demak, bizda [(x 3) +] = (x 8) mavjud. Qavslarni kengaytirib, shartlarni qayta tartibga solib, biz (x +) + = 50 ni olamiz, ya'ni. (x +) + = Javob: kerakli chiziq markazi bir nuqtada bo'lgan ellips va yarim o'qlari a = 5 va b = Giperbolaning tenglamasini toping Koordinatalarning eski koordinatalari O () x; 0; ;,;. Yangi sistemada C (; 0) = 8 (x;) va yangilari (zt;) 1 1 x z 1 z + t = 1 1 t = z t matritsa tengligi bilan bog'langan. Demak, tenglama x = 8 z + t z t = 8, zt = 4. Javob: zt = 4. g: 4x 4x + 8x + 4+ 3 = 0 dan cano- 7. Egri chiziqni yagona shaklga keltiring. yangi koordinatalarda () q x, = 4x 4x + kvadrat shaklini ko'rib chiqing. q ko'rinishdagi matritsasi 5 va 0 o'z qiymatlari va mos ortonormal vektorlarga ega va yangi koordinatalar tizimiga o'tamiz: 7

8 z 1 1 x. t = 5 1 Eski koordinatalarni (x;) yangilari (zt) bilan ifodalaymiz; : 1 1 z + tx 1 z = 1 t =, 1 zt degani, x = z + t, = z + t Bu ifodalarni g egri chiziq tenglamasiga qo‘yib, 0 = 4x 4x + 8x = x = z ni hosil qilamiz. + 1 t, = 1 z + t ( ) () () () = 5z 4 5z + 3 = z 5 4 z 5 + 3 = z 5 1 z 5 3. Demak, yangi koordinatalarda g egri chiziq berilgan. 1 3 g tenglama bo'yicha: zz =. = z, x = t sozlamasi, g: =, 1 ni olamiz, shundan kanonik koordinatalarda g: = 0 egri chiziqning kanonik tenglamasini topamiz = 5 x 1 1 x E'tibor bering, g egri chiziq juft parallel chiziqlardir. 1B Iqtisodiy va moliyaviy muammolarga qo'shimchalar 8. Anya, Boris va Dmitriyning har birida meva sotib olish uchun 150 rubl bo'lsin. Ma’lumki, 1 kg nok 15 valyuta birligiga, 1 kg olma esa 10 valyuta birligiga to‘g‘ri keladi. Bundan tashqari, uchtasining har biri 8
9 o'zining foydali funktsiyasiga ega, uni sotib olayotganda maksimal darajada oshirishni xohlaydi. X1 kg nok va x kg olma sotib olinsin. Ushbu foydali funktsiyalar quyidagilardir: Ani uchun u = x + x, Boris uchun 1 A 1 x u B = + x va Dmitriy uchun ud = x1 x. Ani, Boris va Dmitriy uchun sotib olish rejasini (x1, x) topish talab qilinadi, unda ular o'zlarining foydali funktsiyalarini maksimal darajada ta'minlaydilar. x rasm. 5 Ko'rib chiqilayotgan masalani geometrik tarzda yechish mumkin. Ushbu muammoni hal qilish uchun sath chizig'i tushunchasini kiritish kerak. x x 1 rasm. 6 z = f (x,) funksiyaning sath chizig‘i funksiya h ga teng o‘zgarmas qiymatni saqlaydigan tekislikdagi barcha nuqtalar to‘plamidir. x 9
10 Bu holda, yechim chiziqli tengsizliklar bilan belgilangan tekislikdagi geometrik sohalarning boshlang'ich tushunchalaridan ham foydalanadi (1.4-kichik bo'limga qarang). x x 1 rasm. 7 ua, u B va u D funksiyalarining darajali chiziqlari mos ravishda Ani, Boris va Dmitriy uchun to‘g‘ri chiziqlar, ellips va giperbolalarni ifodalaydi. Muammoning ma'nosi doirasida biz x1 0, x 0 deb faraz qilamiz. Boshqa tomondan, byudjet cheklovi 15x1 + 10x 150 tengsizlik sifatida yoziladi. Oxirgi tengsizlikni 10 ga bo'lsak, biz 3x1 + x 30 yoki + ni olamiz. 1. X1 x bu tengsizlikning yechimlar sohasi manfiylik shartlari bilan birga x1 = 0, x = 0 va 3x1 + x = chiziqlar bilan chegaralangan uchburchak ekanligini tushunish oson.
11 X * X * rasm. 8-rasm. 9 Geometrik naqshlarga asoslanib, uamax = ua (0,15) = 15, ubmax = ub (0,15) = 5 va udmax = ud (Q) ekanligini aniqlash oson. Byudjet uchburchagi tomoni darajasining giperbolasiga tegish Q nuqtasining koordinatalari allaqachon analitik tarzda hisoblab chiqilishi kerak. Buning uchun Q nuqtasi uchta tenglamani qanoatlantirishiga e'tibor bering: xx 1 = h, 3x1 + x = 30, h 3 x "= =. X1 X.
12 Tenglamalardan h ni chiqarib tashlab, Q = (x, x) = (5; 7.5) nuqtaning koordinatalarini olamiz. 1 Javob: Q = (x1, x) = (5; 7.5). 9. Firma xarajatlari va foydalarining chiziqli bo'lmagan modeli. Firma mos ravishda x miqdorida va ishlab chiqarish birliklarida ikkita turdagi A va B ko'p maqsadli uskunalar ishlab chiqarsin. Bunda firmaning yildagi daromadi Rx (,) = 4x + daromad funksiyasi bilan, ishlab chiqarish xarajatlari esa firma oladigan 1 1 Cx (,) = 7,5+ x + 4 xarajat funksiyasi bilan ifodalanadi. maksimal foyda.3 da ishlab chiqarish rejasini (x, ) aniqlang
13 Daromad funksiyasi daromad funksiyasi bilan xarajat funksiyasi orasidagi farq sifatida tuzilgan: 1 1 N (x,) = R (x,) C (x,) = 4x + 7,5 x. 4 O'zgartirishlarni amalga oshirib, oxirgi ifoda 1 1 P (x,) = 9 (x 8) (1) ko'rinishga keltiriladi. 4 Foyda funktsiyasi uchun daraja chiziqlari (x 8) (1) = h. 4 Har bir sath chizig'i 0 h 9 - koordinata boshida joylashgan ellips. Olingan ifodadan foyda funksiyasining maksimali 9 ga teng ekanligini va x = 8, = 1 da erishilganligini ko rish oson. Javob: x = 8, = 1. 13BMashq va test savollari.1. Doira uchun normal tenglamani yozing. Aylana markazi va radiusi koordinatalarini toping: a) x + + 8x 6 = 0; b) x x = 0 ... M 1 (1;), M (0; 1), M 3 (3; 0) .. 3 nuqtalardan o'tuvchi aylana tenglamasini tuzing. Ellipsni aniqlang va uning kanonik tenglamasini yozing. Ellipsning kanonik tenglamasini yozing, agar 1 uning ekssentrisiteti e =, yarim katta o'qi esa teng bo'lsa, fokuslari koordinata o'qiga nisbatan simmetrik tarzda joylashgan ellips tenglamasini tuzing, qo'shimcha ravishda bilib oling. , uning fokuslari orasidagi masofa c = 4 va ekssentrikligi e = ellipsning ekssentrisiteti aniqlansin. Agar ellipsning katta o'qi kichik o'qdan to'rt marta bo'lsa, uning ekssentrisitesini toping. 33
14 .6. Giperbolani aniqlang va uning kanonik tenglamasini yozing. M (0; 0,5) nuqta va giperbolaning o'ng uchi orqali = 1 tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziq o'tkaziladi. To'g'ri chiziq va giperbolaning ikkinchi kesishgan nuqtasining koordinatalarini toping Giperbolaning ekssentrisitetiga ta'rif bering. Uning kanonik tenglamasini yozing, agar a = 1, b = 5. Bu giperbolaning ekssentrisiteti nimaga teng?.8. Giperbolaning kanonik tenglamasi orqali berilgan asimptotalari tenglamalarini yozing. Giperbolaning tenglamasini tuzing, agar uning asimptotalari = ± x tenglamalar bilan berilgan bo'lsa va giperbola 5 M (10; 3 3) nuqtadan o'tsa .. 9. Parabolani aniqlang va uning kanonik tenglamasini yozing. Parabolaning kanonik tenglamasini yozing, agar abscissa oʻqi uning simmetriya oʻqi boʻlsa, uning choʻqqisi koordinata boshida boʻlsa va Ox oʻqiga perpendikulyar boʻlgan parabola akkordasining uzunligi 8 ga, bu akkordning choʻqqidan masofasi boʻlsa. = 1x parabolada fokus radiusi Taklif bo'lgan va ma'lum bir mahsulotga bo'lgan talab p = 4q 1, p = + funktsiyalari bilan berilgan nuqtani toping. Bozor muvozanat nuqtasini toping. 1 q Grafiklarni yarating ... 1. Andrey, Katya va Nikolay apelsin va banan sotib olmoqchi. X1 kg apelsin va x kg banan sotib oling. Uchalasining har biri o'zining foydali funktsiyasiga ega, bu uning xaridini qanchalik foydali deb bilishini ko'rsatadi. Bu foydali funksiyalar quyidagilardan iborat: Andrey uchun u = x + x, Katya uchun 1 4 A 4 1 u K = x + x va Nikolay uchun un = x1 x. a) h = 1, 3 darajasining qiymatlari uchun foydali funktsiya darajasining chiziqlarini chizing. b) Har biri uchun sotib olish tartibi bo'yicha rrr r = (4,1), s = ( 3,8), t = (1,1 )