Xosmas integrallar

XOSMAS INTEGRAL.

1-tur xosmas integral

• y=f(x) funksiya [a,+∞) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lsin (1-rasm).
• Quyidagi limitga
• [a,+∞) oraliqda f(x) funksiyaning 1-tur xosmas integrali deyiladi

• y=f(x)
• (1-rasm)

• 0

• y

• x

• a

• b

kabi belgilanadi, ya`ni

• kabi belgilanadi, ya`ni
• (2)
• Agar bu formulada limit mavjud va chekli bo`lsa, u
• holda xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Bu limit integralning qiymati sifatida qabul qilinadi. Agar ko`rsatilgan limit cheksizga teng yoki mavjud bo`lmasa, xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
• Xuddi shuningdek, 1-tur xosmas integral (+∞,b] oraliq
• (2-rasm) uchun

• y=f(x)
• (2-rasm)

• 0

• y

• x

• a

• b

Faraz qilaylik, f(x) funksiya (-∞;+∞) oraliqda aniqlangan va uzluksiz hamda c ε (-∞;+∞) bo`lsin.U holda

• Faraz qilaylik, f(x) funksiya (-∞;+∞) oraliqda aniqlangan va uzluksiz hamda c ε (-∞;+∞) bo`lsin.U holda
• (2)
• Xosmas integrallar yig`indisiga f(x) funksiyaning (-∞;+∞) oraliqdagi 1-tur xosmas integrali deb ataladi va u.
• (3) kabi belgilanadi.
• (2) yig`indidagi har bir xosmas integral yaqinlashuvch bo`lsa,(3) xosmas inttegral yaqinlashuvchi bo`ladi. Bu holda, (2) yig`indi C nuqtaning tanlanishiga bog`liq bo`lmaydi.

Misollar. Xosmas integrallarni hisoblang:

• Misollar. Xosmas integrallarni hisoblang:
• 1)
• Demak, bu integral uzoqlashuvchi ekan.
• 2)
• Demak, xosmas integral yaqinlashuvchi ekan.

2-tur xosmas integral

• f(x) funksiya [a,b) oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lib, x=b nuqta atrofida chegaralanmagan funksiya bo`lsin.(3-rasm) U holda,
• limitga [a,b) oraliqda f(x) funksiyasining 2-tur xosmas integrali deyiladi va ushbu tenglik bilan aniqlanadi:
• (4)

Agar (4) formulada qatnashayotgan limit mavjud va chekli bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Agar ko`rsatilgan limit mavjud bo`lmasa yoki cheksiz bo`lsa, xosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi. (a,b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz x=a nuqtada chegaralanmagan funksiya uchun xosmas integral xuddi shunday aniqlanadi (4-rasm)

• Agar (4) formulada qatnashayotgan limit mavjud va chekli bo`lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Agar ko`rsatilgan limit mavjud bo`lmasa yoki cheksiz bo`lsa, xosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi. (a,b] oraliqda aniqlangan va uzluksiz x=a nuqtada chegaralanmagan funksiya uchun xosmas integral xuddi shunday aniqlanadi (4-rasm)
• Aytaylik, f(x) funksiya [a,b] oraliqning cε(a,b) nuqtasidan tashqari barcha nuqtalarida aniqlangan va uzluksiz bo`lib, x=c nuqtaning atrofida chegaralanmagan bo`lsin (5-rasm).

• x

• 3-rasm

• 4-rasm

• x

• 0

• a

• b

• b-ε

• y

• y=f(x)

• ε

• y=f(x)

• y

• a

• a+ε

• b

• 0

• ε

• U holda, bu funksiyaning aniq integrali xosmas integrallarning yig`indisi kabi aniqlanadi:
• (5)
• Agar (5) formulaning o`ng tarafdagi har bir xosmas integral yaqinlashuvchi bo`lsa, f(x) funksiyadan [a,b] oralliqda olingan 2-tur xosmas integral ham yaqinlashuvchi bo`ladi.

• (5-rasm)

• 0

• y

• x

• a

• c-ε1

• c

• c+ε2

• b

• y=f(x)

• ε2

• ε1

Aniq integralni taqribiy hisoblash

• Ko‘p hollarda berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasini elementar funksiyalarda ifoda etish mumkin bo‘lavermaydi. Bunday hollarda aniq integralni hisoblash uchun taqribiy
• formulalardan foydalaniladi. [a,b] integrallash oralig‘i n ta uzunligi ga teng bo‘laklarga bo‘linadi.
• 1.To‘g‘ri to‘rtburchaklar formulasi (2 - rasm):

• y0 y1 y2 yn-1

• y

• y=f(x)

• 2-rasm

• 0 a=x0 x1 x2 …. xn-1 xn x

2. Trapetsiya formulasi (3 - rasm):

• 2. Trapetsiya formulasi (3 - rasm):

• 0 a=x0 x1 x2 …… xn-1 xn x

• y

• y=f(x)

• y0 y1 y2 yn-1 yn

3.Parabola formulasi (Simpson formulasi). n – juft olinadi. Integral quyidagicha hisoblanadi:

• 3.Parabola formulasi (Simpson formulasi). n – juft olinadi. Integral quyidagicha hisoblanadi: