Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning xos son va xos vektorlari

1-teorema. Agar Rn da T chiziqli operatorning xos qiymatlari  , ,K ,  (s  n) haqiqiy sonlar toʻplamiga tegishli juft-jufti
farazga koʻra 1  0 va 1  s  0 boʻlgani uchun 1(1  s )  0 , lekin (s 1) ta e1,e2 ,K ,es1 vektorlar chiziqli erkli edi. Biz bunda zid natijaga keldik. Demak, induksiya s uchun ham toʻgʻri ekanini isbot etdik. Teorema toʻla isbot boʻldi.
 
1 2 3
1- misol. Shunday T : R3  R3 chiziqli operator berilganki, berilgan tayin e , e , e bazis uchun T ning matritsasi ushbu koʻrinishga ega:
A  3
1 3 1
 5 1

3 3 1 
T operatorning xos sonlari, xos vektorlarini va (agar mumkin boʻlsa) T operatorning matritsasi diagonal koʻrinishni oladigan bazisni toping.
Yechish. T operatorning xarakteristik koʻphadi ushbu koʻrinishga ega:
 ( 1)(  2)2.
1  3 1
3 5   1
3 3 1  
det[ A  E] 
Bundan T operatorning xarakteristik sonlari  1, 2  3  2 boʻladi. 1  1 songa toʻgʻri keladigan q1  x1 e1  x2 e2  x3 e3 xos vektor ushbu sistemaning yechimi sifatida topiladi:
x1  3x2  x3  x1, 
1 2 3
1
3x  5x  x  x ,
2 
3x  3x  x  x . 
2 3 3 
q1  e1  e2  e3 vektor 1 1, songa toʻgʻri keladigan xos vektor ekanini tekshirish oson. 2  3  2 xarakteristik sonlarga toʻgʻri keladigan q2 va q3 xos vektorlarni topish sistemasi ushbu koʻrinishga ega:
x1  3x2  x3  2x1, 
1 2 3
1
2 3
3x  5x  x  2x ,
2 
3x  3x  x  2x . 
3 
Bevosita tekshirish yoʻli bilan q2  e1, q3  e1  3e2 vektorlar T operatorning 2  3  2 sonlarga mos xos vektorlari ekaniga ishonch hosil qilamiz. q3 vektorlar chiziqli erkli ekanini koʻrish oson:
0 3
1 1 1
1 0 0   1 1  3  0
1 0 3
Shu sababli q1, q2 , q3 vektorlar bazis tashkil qiladi. q1, q2 , q3 lar  operatorning xos vektorlari boʻlgani uchun:

T (q1)  q1  0  q2  0  q3 ,
T (q2 )  0  q1  2  q2  0  q3 ,

uur
ur uur uur 
uur ur uur uur
T (q3 )  0  q1  0  q2  2q3.  Shu sababli T operatorning q1, q2 , q3 bazisdagi matritsasi bunday:
0
1 0 0
 0 2
 
0 0 2
2
2
1 2 1 1 2 2 2 1