Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning xos son va xos vektorlari

2- misol. T : R  R operator e ,e bazis vektorlarini T (e )  e  ie , (e )  e  ie vektorga oʻtkazuvchi operator
boʻlsin. T operatorning matritsasi diagonal koʻrinishida boʻladigan bazisini topish talab qilinadi.
Yechish. e1,e2 bazisda T ning matritsasi ushbu koʻrinishda boʻladi:
A  1
i 1
 
i  .
Shunig uchun A operatorning xarakteristik polinomi bunday:
 (1  )2  i2   2  2  2
det ( A  E)  1  
i 1  
i
2 1
Ushbu 1  1 i va 2 1 i sonlar T operatorning xarakteristik sonlari boʻladi. 1 va 2 xos sonlarga toʻgʻri keladigan mos
q1  x1 e1  x2 e2 va q2  y1 e1  y2 e2 xos vektorlar quyidagi tenglamalar sistemasidan topiladi:
x1  ix2  (1  i)x1
x
 ix  (1  i)x
 1

ix1  x2  (1  i)x2
ix1  x2  (1  i)x2
Bundan q1 va q2 vektorlar sifatida q1  e1  e2 va q2  e1  e2 chiziqli erkli vektorlarni olish mumkinligi kelib chiqadi, q1 , q2
bazisda  vektorning matritsasi ushbu koʻrinishga ega:
 1  i 0
0 1  
Chunki
(q1)  (1  i)q1,
uur uur
(q2 )  (1  i)q2.
Mustaqil yechish uchun misollar
vektorlarni
3. T : R4  R5 akslantirish e , e , e , e
1 2 3 4
T (e1 )  {1,1,0,0,0},
T (e2 ) {0,1,1,0,0},
T (e3 ) {0,0,1,1,0},
ur
ur
ur
T (e4 ) {0,0,0,1,1}
vektorlarga oʻtkazuvchi chiziqli akslantirish boʻlsin. Shu akslantirishning matritsasini va uning koordinatalar boʻyicha tasvirini (ifodasini) yozing.
1 2 1 2 3 4
4. T : R4  R4 almashtirish e  e , e  e , e , e vektorlarni
T (e1  e2 ) {0,0,1, 1}, T (e1  e2 ) {0,0,1, 2},
ur
T (e3 )  {1, 2,0,0},
ur
T (e4 ) {0, 3, 2,0}
vektorlarga oʻtkazuvchi chiziqli akslantirish boʻlsin. Shu akslantirishning matritsasi va uning koordinatalar orqali tasvirini yozing.

• T : R5  R3 akslantirish quyidagi

1  x1  2x2  x3  x4  5x5 ,
2  2x1  x2  3x3  x4  2x5 ,
3  x1  x2  x3  4x4  6x5 ,
koordinatalar orqali tasvirlangan chiziqli akslantirish boʻlsin. T (e1  e2  e3 ), T (e1  e4  2e5 ) vektorlarni toping.

• T : R3  R4 chiziqli akslantirishning bazisdagi matritsasi ushbu koʻrinishga ega:

A  
3 
1 2 0 1 
3 0 1 2

2 4 3 1 
1 2 1


T : R4  R4 ning quyidagi bazislardagi matritsalarini toping: a) e1, 2e2 , 3e3 , e3  e4 ;
b) e1 , e1  e2 , e1  e2  e3  e4 .
1 2
7. Ushbu T : R2  R2 operator e ,e bazis vektorlarni
(e1)  e1  ie2 ,
(e2 )  e2  ie1,
ur ur ur
vektorlarga oʻtkazuvchi operator boʻlsin. T : R2  R2 operatorning matritsasi diagonal koʻrinishda boʻladigan bazisni toping.
Javob:
q1  e1  e2 ,
uur ur ur
q2  e1  e2 .
q1, q2 bazisda  operatorning matritsasi ushbu koʻrinishga ega:
.
 1  i 0
0 1  i
8. T : R2  R2 operator q  {1, 2}, q {2,3} bazisdagi chiziqli operator boʻlib, uning matritsasi
1 2
T
4
A  3
4 3
 
dan iborat boʻlsin, e  {3,1}, e  {4, 2} bazisdagi T : R2  R2 chiziqli operator esa
1 2 1

 1 2
T1 2 1
 
1 1 1
matritsa bilan beriladi. A
T T T T TT
, A , A matritsalarni aniqlang.
9. Tayinlangan  e1, e2 , e3 bazisda quyidagi matritsalar yordamida berilgan chiziqli operatorlarning xos vektorlarni toping:
a) A   5
3,
2, с) C  5
b) B  4
13.
d) D  2
 2 1 2 4 3 2
 3   7 
1 0 2 6 9 4
 0 1 0  1 3 3 
 4 0, 6
  
2 1 2 1 4 8 

10. Agar tayinlangan e1, e2 , e3bazisda (yoki e1, e2 , e3 , e4 bazisda) chiziqli operatorlar

a)
0
0,
0 0 1
 1 
1 0 0
 
b) 

,

1	1	1	1 	0	0	0	1
1	1	1	1	0 c) 	0	1	0 
1	1	1	1	0	1	0	0
 1	1	1	1  	 1	0	0	0 

matritsalar bilan berilgan boʻlsa, shu chiziqli operatorlar R3 va R4 da diagonal koʻrinishda boʻladigan bazislarni toping.
11. n -tartibli
0
0
0 0 0 . . . 0 0 1
 0 0 . . . 0 1
0 0 0 . . . 1 0

0
A   .
. . . . . . .
. 

 0
1 0 . . . 0 0
0 0 . . . 0 0

0
1
0




matritsa uchun shunday maxsusmas n-tartibli B matritsa topish kerakki,
C  B1AB
matritsa diagonal matritsa boʻlsin.
12. Tayinlangan bazisda
2
 4 2 2
A   2 0
 
1 1 1
matritsa bilan berilgan T : R3  R3 chiziqli operatorning barcha invariant qism fazolarini toping.
3
 
1 2 3
13. R dagi e ,e ,e bazisda
A  1
 5 1 1
 5 1 va

1 1 5 
6
6 2 3
B   2 3
 
 3 6 2
matritsalar bilan berilgan ikki chiziqli operatorning umumiy invariant qism fazolarini toping.
Oʻz-oʻzini tekshirish uchun savollar

• Chiziqli fazoning chiziqli almashtirishi yoki operatori deb nimaga aytiladi?
• Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operator deb qanday operatorga aytiladi?
• Chiziqli operatorning xos vektorlari basis tashkil qilishining etarli sharti
• Ln fazoda bir bazisdan ikkinchi bazisga oʻtish matritsasi qanday tuziladi?
• Chiziqli operator ustida bajariladigan qanday amallarni bilasiz?
• Chiziqli operatorning xos vektori va xos qiymati deb nimaga aytiladi?
• Xos vektorlarning qanday xossalarini bilasiz?
• Qanday bazisda matritsa diagonal ko`rinishga ega bo`ladi?

Asosiy adabiyotlar:

• Gilbert Strang ―Introduction to Linear Algebra‖, USA, Cambridge press, 5nd Edition, 2016.
• Grewal B.S. ―Higher Engineering Mathematics‖, Delhi, Khanna publishers, 42nd Edition, 2012.
• Raxmatov R.R., Adizov A.A., Tadjibayeva Sh.E., Shoimardonov S.K. Chiziqli algebra va analitik geometriya. qollanma. Toshkent 2020.

O‗quv

• Rаxмаtоv R.R., Adizov A.A. ―Chiziqli fazo va chiziqli operatorlar‖ O‗quv uslubiy qollanma. TATU, Toshkent 2019.
• Соатов Ё.У. ―Олий математика‖, Т., Ўқитувчи нашриѐти, 1- 5 қисмлар, 1995.
• Рябушко А.П. и др. ―Сборник индивидуальных заданий по высшей математике‖, Минск, Высшая школа, 1-3 частях, 1991.

Qo‘shimcha adabiyotlar:

• Мирзиѐев Ш. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга қурамиз. –Т.: Ўзбекистон, 2017. - 488 бет.
• Мирзиѐев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини таъминлаш-юрт тараққиѐти ва халқ

фаровонлигининг гарови. –Т.: Ўзбекистон, 2017.

• Мирзиѐев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини биргаликда барпо этамиз. Т.: Ўзбекистон, 2017.
• Adizov A.A., Xudoyberganov M.O‗. Amaliy matematika. O‗quv uslubiy qo‗llanma. Toshkent. 2014.
• Шодиев Т.Ш. Аналитик геометрия ва чизиқли алгебра. Тошкент ―Ўқитувчи‖ 1984.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
• Задорожный В. Н. и др. Высшая математика для технических

университетов. Часть I. Линейная алгебра. - Томск: Изд-во ТПУ, 2009.

• Данко П.С., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Седьмое издание. -М.: Высшая; школа, 2015.
• Семѐнова Т.В. Высшая математика: учебное пособие для студентов технических вузов. Часть 1. - Пенза:

Пензенский гос. ун-т, 2008.

• Макаров Е. В., Лунгу К. Н. Высшая математика: руководство к решению задач: учебное пособие, Часть 1, Физматлит. 2013.
• Минорский В.И. Сборник задач по высшей математике. М: На