X. Norjigitov “Variatsion hisob va optimallashtirish usullari”

Identiv o’quv maqsadlari:
1. Eyler tenglamasini biladi.
2. Veyershtras shartini keltirib chiqaradi.
3. Yakobi tenglamasini tuza oladi.


3-asosiy savolning bayoni:


(2.7)
funktsionalni qaraymiz. Bu erda bo’lakli-silliq funktsiya. va nuqtalarni tutashtiruvchi ya’ni shartni qanoatlantiruvchi chiziqlarda (1.12) funktsional minimum qiymat qabul qiluvchisini izlaymiz.

deb olamiz. parametr istalgancha kichik bo’lganda funktsiya ning birinchi tartibli atrofiga tegishli bo’ladi. (1.12) funktsional parametrning funktsiyasi bo’ladi:

va da minimumga ega. bir argumentli funktsiya bo’lib, bajariladi.
ni bo’yicha differentsiallaymiz


shartga olsak, bulardan
(2.8)
(2.9)
(1-13) dagi ifodani bo’laklab, integrallaymiz natijada

ixtiyoriy bo’lganligi uchun, bundan
(2.10)
Eyler-Logranj tenglamasiga kelamiz. bo’lganda

bundan (2.10) kelib chiqadi.
Lemma (Dyubua-Reyman) bo’lakli-uzluksiz va ixtiyoriy bo’lakli-silliq funktsiya uchun

ortogonallik sharti bajarilsa, o’zgarmas bo’ladi.
Shu lemmaga ko’ra (1.15) dan

Buni kesmada integrallaymiz:
(2.11)
yoki
(1.16)
Eyler-Lagranj tenglamasini differentsiallaymiz
(2.12)
bo’ladi.
Bu ikkinchi tartibli differentsial tenglama bo’lib, echimi ikkita ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liq bo’ladi, bu o’zgarmaslar
shartdan topiladi.
Eyler-Logranj tenglamasining integral egri chiziqlari ekstremallar (Logranj chiziqlari) deyiladi
(2.13)
chegaraviy masala hamma vaqt echimga ega emas, echim mavjud bo’lsada, yagona bo’lmasligi mumkin.
a) funktsiya ga bog’liq bo’lmasin, ya’ni u holda
, -o’zgarmas (2.14)
b) funktsiya ga bog’liq emas, ya’ni . Eyler-Logranj tenglamasi

ko’rinishda bo’ladi. almashtirish bajaramiz.
yoki
bo’lib, bundan
, -o’zgarmas (2.15)
v) funktsiya ga chiziqli bog’langan bo’lsin.

Bu holda Eyler-Logranj tenglamasi
(2.16)
ko’rinishda bo’ladi. Agar (1.21) tekislikning sohasida aynan bajarilsa to’la differentsial bo’lib, funktsional hamma funktsiyalarda o’zgarmas bo’ladi.
Agar (2.16) aynan teng bo’lmasa, bu tenglik bir yoki bir nechta ekstremallarni aniqlaydi.
Ikkinchi zaruriy shart (2.7) minimumga erishsa bo’lib, (2.9) ga ko’ra minimum mavjud chiziqlarda
(2.17)
ekstremallarda maksimum mavjud bo’lsa
(2.18)
(2.17) yoki (2.18) shartlar ekstremum mavjudligi uchun Lejandrning zaruriy sharti deb yuritiladi.
Uchinchi zaruriy shart. Agar chiziqda (2.7) funktsional kuchli minimumga (maksimumga) erishsa,
(2.19)
Veyershtrass funktsiyasi ning chekli qiymati va ekstremalning hamma nuqtalarida nomanfiy (nomusbat) bo’ladi.
To’rtinchi zaruriy shart (1.12) funktsional chiziqda minimumga erishsin, u holda
(2.20)
(2.21)


tenglikni va (1.25) shartni qanoatlantiruvchi funktsiyalar funktsionalga minimum qiymat beradi. Eyler-Logranj tenglamasi deyiladi.
Lejandr sharti bajarilganda dan kelib chiqadi. ekstremaldagi va nuqtalar qo’shma nuqtalar deyiladi .