Vektorlar algebrasi

Tenzorlar ustida amallar. a) tenzorni doimiy songa ko’paytirish. Ixtiyoriy A_μυ tenzor komponentalarini C doimiy songa ko’paytirib, yangi B_μυ tenzor hosil qilinadi, uning komponentalari A_μυ tenzor komponentalarining C ga ko’paytirilganiga teng bo’ladi: B_μυ = C A_μυ . (11) b) tenzorlarni qo’shish va ayirish. Ikki A_mn va B_mn tenzorlarning yig’indisi shunday C_mn tenzorga teng bo’ladiki, uning komponentalari qo’shiluvchi tenzorlar mos komponentalarining yig’indisiga teng bo’ladi: C_mn = A_mn + B_mn . (12) Shunga o’xshash tenzorlar ayirmasi uchun D_mn = A_mn - B_mn (13) munosabatni yozish mumkin. v) tenzorlarni ko’paytirish. Ikkita A_mn va B_ps tenzorlarning ko’paytmasi ham tenzor bo’lib, uning rangi ko’paytiriluvchi tenzorlar ranglarining yig’indisiga, komponentalari esa ko’paytiriluvchi tenzorlarning mos komponentalari ko’paytma-lariga teng bo’ladi. Yangi tenzorni C_mnps desak, C_mnps = A_mn B_ps (14)bo’ladi. g) tenzorlarni yig’ishtirish. Bir xil bo’lgan ikkita indeks bo’yicha yig’indi olish bilan tenzor rangini kamaytirish operasiyasi tenzorlarni yig’ishtirish yoki soddalashtirish deyiladi. Har yig’ishtirishda tenzorning rangi ikkiga kamayadi. Haqiqatan ham, T _αβ^´ tenzorda (4) deb hisoblab, shu bir xil indekslar bo’yisha yig’ishtirsak va deb hisoblab, (13) shartni e’tiborga olsak, _αα^´ = _αμ T_μυ = _μμ (15) bo’ladi. Bu ifoda skalyar bo’lib, tenzorning izi deb yuritiladi. Xuddi shuningdek, T _αβγ´ uchinchi rang tenzorni (5) yig’ishtirsak va υ = λ deb hisoblab, (13) ni e’tiborga olsak, _αββ^´ = _{α, μ β,ν γ, λ} T_μυλ = _{α, μ} T_μυυ (16) bo’ladi. Ammo yig’ishtirish qoidasiga ko’ra _αββ^´ = T_α^´, _μυυ = T_μ , Demak, (16) dan T_α´ = _αμ T_μ (17) vektor kelib chiqadi. Shunday qilib, ikkinchi rang tenzorini yig’ishtirsak, (15) skalyar hosil bo’ladi, uchinchi rang tenzorini yig’oshtirish natijasida esa birinchi rang tenzor, ya’ni (17) vektorni beradi