Vektorlar algebrasi

Maydonlar xossalarini ifodalovchi funksiyalar.Elektrodinamikada maydonlarning turli xossalarini ifodalashda bir necha funksiyalardan foydalaniladi. Bu funksiyalardan eng ko’p ishlatiladiganlari – bular gradiyent, divergensiya va rotor hisoblanadi. Bu funksiyalar matematik tushunchalar bo’lish bilan bir qatorda fizik ma’no ham kasb etadi. Shu tufayli ham bu funksiyalarning elektrodinamika uchun ahamiyati kattadir. Bu darsda ularning mamunlar haqida qisqa to’xtalamiz. Keyingi darsimizda ularning matematik aniqlanishi, xossalari to’g’risida kengroq ma’lumotlar keltiramiz.Gradiyent – bu biror fizik kattalikning berilgan yo’nalish bo’yicha qiymati-ning o’zgarishini (o’sishini yoki kamayishini) bildiradi.Divergensiya – bu fizik kattalikning biror yopiq sirtdan o’tuvchi oqimini bildiradi.Rotor- bu biror fizik kattalikning uni o’rab turgan berk kontur bo’yicha o’zgarishini ifodalaydi.

NIsbiylik prinsiplari.Klassik mexanika kursidan ma’lumki, Nyutonning birinchi qonuniga asosan jismga kuch ta’sir qilmasa yoki ta’sir qilayotgan kuchlarning yig’indisi nolga teng bo’lsa, inersial sanoq sistemalarida u o’zining tinch holatini yoki to’g’ri chiziqli tekis harakatini saqlaydi. Ikkinchi tomondan, bu qonun bajariladigan sanoq sistemslari inersial sanoq sistemalari deyiladi. Bu qonunning to’g’riligiga hech qanday shubha yo’q.Tabiiy savol tug’iladi, inersial sanoq sistemalarida faqat to’g’ri chiziqli tekis harakat bir xil ifodalanadimi? Bunga Galileyning nisbiylik prinsipi aniq javob beradi. Barcha inersial sanoq sistemalarida mexanika qonunlari birday o’rinli bo’ladi. Galiley nisbiylik prinsipiga ko’ra, birorta inersial sanoq sistemasida qandaydir mexanika qonuni aniqlangan bo’lsa, bu qonun barcha inersial sanoq sistemalarida o’rinli bo’lib, bir xil ifodalanadi. Bu prinsipning matematik ifodasini Galiley almashtirishlari aniqlaydi: r = r´ + Vt´, t = t´, (1) bu yerda V o’zgarmas bo’lib, K´ sanoq sistemasining K sanoq sistemasiga nisbatan harakat tezligi. Ifoda (1) bir inersial sanoq sistemasidan ikkinchisiga o’tishda koordinata va vaqtni almashtirish formulalarini beradi. Klassik mexanikada (1) almashtirish formulalarida t = t´ yozilmaydi, klassik fizika nuqtai nazaridan barcha inersial sanoq sistemalarida vaqt birday o’tishini ta’-kidlash uchun uni keltirildi. Vaqtning bunday xossasi klassik mexanikada signal yoki o’zaro ta’sir cheksiz tezlik bilan uzatiladi, degan g’oyaga asoslangan. Birorta K inersial sanoq sistemasida qandaydir qurilma har tomonga izotrop holda cheksiz tezlik bilan tarqaluvchi signal chiqarayotgan bo’lsin. Bu sanoq sistemadagi ixtiyoriy boshqa nuqtalardagi signalni qabul qiluvchi qurilmalar bu signalni oniy vaqtda qabul qiladi. Bundan tashqari, K sanoq sistemasiga nisbatan chekli tezlik bilan harakatlanayotgan sanoq sistemadagi signalni qabul qiluvchi qurilmalar ham bu signalni shu vaqtda qabul qiladi. Bunday signallar barcha soatlarni sinxronlash imkonini beradi. Boshqacha qilib aytilsa, bu holat barcha sistemalarda birday o’tadigan ( t´= t´´ = … = t ), absolyut vaqtni kiritish mumkinligini ko’rsatadi. Galiley almashtirishi (1) dan vaqt bo’yicha birinchi tartibli hosila olsak, klassik mexanikadagi tezliklarni qo’shish formulasini olamiz: v = v´+ V . (2) Bu tenglamadan yana bir marta hosila olib, moddiy nuqtaning tezlanishi har ikkala sanoq sistemasida teng ekanligini aniqlaymiz. a = a´, yoki F = ma = ma´ = F´ . (3) Bundan ko’rilayotgan moddiy nuqtaga ta’sir etuvchi kuch barcha inersial sanoq sis-temalarida birday ekanligi kelib chiqadi (Nyutonning ikkinchi qonuni). Shunga o’shash mexanikaning boshqa qonunlarini tekshirib ko’rish mumkin. Demak, umumiy holda klassik mexanika qonunlari Galiley almashtirishlariga nisbatan ko’rinishini o’zgartirmaydi, ya’ni invariantdir.

Nisbiylik nazariyasida interval. Ba’zan klassik fizikada interval tushunchasi ikki ma’noda qo’llaniladi. Birinchisi, uch o’lchovli fazoda ikki nuqta orasidagi metrlarda o’lchanadigan interval – masofa bo’lsa, ikkinchisi, fazoda ketma-ket sodir bo’lgan ikki voqea orasidagi sekundlarda o’lchanadigan vaqt intervalidir. Uch o’lchovli fazoda ikki nuqta orasidagi masofa shu nuqtalarning koordinatalari orqali aniqlanadi: ∆l = ( (₂ - x₁)² + (y₂-y₁)²+ (z₂-z₁)²)^1/2 , (4) bu yerda x_i, y_i, z_i (i = 1,2) birinchi va ikkinchi nuqtalarning bir vaqtda o'lchangan dekart koordinatalari. Klassik fizika nuqtai nazaridan bunday ta’riflangan interval koordinatalarni ixtiyoriy chiziqli almashtirishlariga nisbatan invariant kattalikdir. Vaqt intervali, voqealar sodir bo’lgan vaqt momentlari orqali aniqlanadi: ∆t = t₂ – t₁ , (5) Bu yerda t₁, t₂ birinchi va ikkinchi voqealar sodir bo’lgan vaqt momentlari. Klassik fizika nuqtai nazaridan yuqorida ta’riflangan fazoviy va vaqt intervallari fazoda berilgan ikki nuqtq hamda voqea uchun sanoq sistemasiga bog’liq bo’lmagan invariant kattaliklardir. Ya’ni kuzatuvchi turgan sanoq sistemasiga bogliq emas. Ni sbiylik nazariyasida interval yangi ma’no kasb etadi. “Voqea” tushunchasini kiritamiz. Voqea – moddiy nuqta bilan sodir bo’ladigan ixtiyoriy hodisa bo’lib, sodir bo’lish joyi (uch o’lchovli fazoviy koordinatalar) va vaqt bilan aniqlanadi. Tasavvur etish qulay bo’lishi uchun o’qlariga vazoviy koordinatalar va vaqt qo’yilgan fazaviy to’rt o’lchovli fazo tushunchasini kiritamiz. Bu fazoda har qanday voqea – dunyo nuqtasi bilan tasvirlanadi. Moddiy nuqtaga bu fazoda qandaydir chiziqni – dunyo chizig’ini mos keltiramiz. Masalan, tinch holatdagi moddiy nuqtaga to’rt o’lchovli fazoda to’g’ri chiziq mos keladi. To’g’ri chiziqli te-kis harakat va tinch holat xossalari jihatidan bir-biridan farq qilmaganligi uchun bu fazoda unga ham to’g’ri chiziq mos keladi.