Vektorlar algebrasi

Maydonlar Fazoning har bir nuqtasida aniqlangan skalyar funksiya φ(r) skalyar maydon deyiladi. Fazoning har bir nuqtasida aniqlangan vektor funksiya a(r) a(r) = i a_x (r) + j a_y (r) + k a_z (r) vector maydon deyiladi. Vektor (maydon) skalyar argumenti bo’yicha hosilasi:

= (x)a(x)) = a₀(x) + a(x)

Bu yerda birinchi had vektorning modulini, ikkinchi had esa uning yo’nalishining o’zgarishini ko’rsatadi. a₀(x) birlik vector. Maydon koordinataga bog’liq bo’lishi bilan bir qatorda vaqtga ham bog’liq bo’lishi mumkin. a(x,y,z,t) vektorning vaqt bo’yicha toliq hosilasi quyidagi ko’rinishda yoziladi:

= + v_y +vz = +(vgrad)a.

Nabla operatori = i + j + k munosabat bilan aniqlanadi.

Nabla operatori bilan skalyar maydon(funksiya) ga ta’sir qilsak (gradient olsak), yana vektor maydon hosil bo’ladi:

a(r) = ∇ φ(r) = grad φ(r) = i + j + k . (*)

Bu vektor φ(r) ning eng tez o’sish tomoniga qarab yo’nalgan. (*) bilan aniqlangan maydon potensial maydon deyiladi. Nabla operatori bilan vektor maydon(funksiya) ga skalyar tarzda ta’sir qilsak (divergensiya olsak), skalyar maydon hosil bo’ladi:

f(r) = (∇ a(r)) = div a(r) = + + .Nabla operatori bilan vektor maydon(funksiya) ga vektor tarzda ta’sir qilsak (rotor olsak), vektor maydon hosil bo’ladi:

b(r) = [∇ a(r)] = rot a(r) = i ( ) + j ( ) + k ( ).