Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Нахождение объема фигур вращения

В курсе математики X класса применение определенного интеграла облегчит вывод формул объемов фигур вращения. На­помним теоретическое обоснование метода.


Р ассмотрим в плоскости хОу криволинейную трапецию aАВb, ограниченную отрезком [а, b] оси Ох, прямыми х = а и x = b, графиком функции у = f(x), где f (x) — однозначная, неотрицательная, непрерывная на отрезке [а, Ь] функция. Если криволиней­ную трапецию аАВb вращать вокруг оси Ох, то образуется фигура вращения (рис. 4), объем которой вычисляется по формуле

Доказательство. Фигура вращения удовлетворяет всем условиям, которые предъявляются к фигуре с допустимыми по­перечными параллельными сечениями. Поэтому для нахождения объема фигуры вращения применена формула

Так как сечение фигуры вращения плоскостью, перпендикулярной оси ОХ и проходящей через любую точку х Є [а, Ь], есть круг радиуса R=f{x), то площадь такого сечения равна: Q (х) = π f² (x) (кв. ед.). Таким образом, имеем:

Рассмотренный метод в курсе геометрии применяется при решении таких, например, задач.
Задача 1. Вычислить объем шарового слоя шара радиуса R, изо­браженного на рисунке 5.
Решение. Данный шаровой слой можно рассматривать как фи­гуру вращения, полученную при вра­щении криволинейной трапеции аАВb вокруг оси Ох. Поэтому для вычисле­ния ее объема применима формула
,
где f² (x) = y² = R² – x².
Следовательно,

В частности, при а = -R и b = R шаровой слой есть шар, поэтому из данной формулы при а = - R и b = R получим формулу для вы­числения объема шара:
(куб. ед.).
Задача 2. Найти объем прямого кругового конуса с высо­той, равной h, и радиусом основания r.
Решение. Рассматривая данный конус как фигуру, полученную вращением треугольника с вершинами в точках (0, 0), (h, 0) и (h, r) вокруг оси Ох , получим, что ее объем вы­числяется по формуле
, где
Следовательно