RosanovaPrakt indd

Типовые задания с решениями
305
Решение
Рассмотрим выражение для совокупных издержек фирмы:
ТС = wL + гК.
Выразим количество капитала из производственной функции и подставим его в выражение для совокупных издержек:
4 L
Q²
ТС = wL + г—.
4 L
В точке минимума производная функции ТС равна нулю: rQ² 1
Э ТС
= да - -
dL 4
14 да
Т=0 =>
L² L² rQ²
l = JlQ
V да 2
к .3-М
Подставив найденные выражения для оптимальных значений L и К в функцию издержек и заданные совокупные издержки, получим оптимальный объем производства:
тг Г Q . Q \^w п TC = wA—- + r—J— => Q
V да 2 2 V г

100.
Таким образом, при минимизации издержек и заданных ограничениях фирма сможет построить 100 дачных домиков.
4. Еще через неделю работники потребовали от Игоря Сергеевича повышения заработной платы в два раза под угрозой забастовки. Менеджер пошел навстречу работникам. Какой объем ресурсов наймет теперь фирма, если контракт заключен на строительство 100 домиков?
Решение
Воспользуемся найденными соотношениями. Подставим выражение для L в производственную функцию и найдем оптимальные объемы капитала и труда, которые теперь необходимо использовать фирме:
е=
тс
4wr
ТС = wL + гК,
К=G1;
4 L
Q-Jwr =wL + rK
I— rQ²
Q-^wr = wL H
^ 41
• wL² - QyfwrL + = 0
4
306
Глава 9. Равновесие конкурентной фирмы
=> L =
Q-Jwr + ^Q²wr - zerQ²
2 w
i = — J— = 50>/2 - 71 => 2 \w




Таким образом, фирма наймет 71 рабочего и 35 ед. оборудования.
5. Для удобства последующих расчетов Игорь Сергеевич хочет вывести функции общих, средних и предельных издержек как зависимости от цен ресурсов и объема строительства. Можете ли вы ему помочь?
Решение
Используем выражения для оптимальных Ки L, которые мы вывели при минимизации функции издержек. Подставим их в функцию совокупных издержек: ТС = Q-Jwr. Функции средних и предельных издержек получаются делением общих издержек на объем выпуска и взятием первой производной от функции совокупных издержек по объему выпуска соответственно:
АТС = = -Jwr,
Q
ЭТС I—
МС = %/даг.
э Q
Заметим, что для данной функции совокупных издержек функции средних и предельных издержек оказываются равными друг другу. Это означает наличие в долгосрочном периоде постоянной отдачи от масштаба, которую демонстрирует эта производственная функция.