Вступление раздел некоторые применения производной

(рис 1) 
В этой теореме точек отрезка 
, где 
, конечное число. 
Рис 1 
Используя эту теорему, докажем следующие функциональные неравенства. 
Рассмотрим примеры. 
Пример 
. Справедливо неравенство 

---

,
(3) 
Рассмотрим функцию
так как эта функция теряет смысл при 
, то мы будем рассматривать 
в промежутке 
. Здесь
дифференцируема и
. 
Но при 
будет 
(это неравенство можно доказать, 
используя монотонность функции 
в данном промежутке). Значит, в 
промежутке 
убывает. Значит 
для 
или 
. 
Отсюда, учитывая то, что при 
и
в 
(3) 
выполняются равенства, 
имеем
Иначе говоря, 
Это неравенство можно было доказать и графически. 

---

Пример . 
Справедливо неравенство 
(4) 
Рассмотрим функцию
Она дифференцируема в указанном промежутке и ее производная будет 
Здесь 
И 
; 
(это следует из того, что квадратный трехчлен 
на отрезке 
принимает неотрицательные значения). 
Поэтому 
- возрастающая функция, значит
Отсюда, в частности, вытекает: 

---

Т.е 
(Здесь мы использовали неравенство 
Это неравенство 
также можно получить, используя монотонность функции 
. 
Теорема 3
. Пусть для чисел 
выполняется условие 
Тогда 
справедливо следующее неравенство: 
(5) 
Доказательство. 
Рассмотрим функцию 
.Эта 
функция определена и дифференцируема на отрезке 
и
Так как 
значит
Таким образом 
Отсюда, используя теорему 2, следует, что 
возрастающей 
функции 
на отрезке 
имеем 
У нас 

---

Отсюда 
Потенцируя это неравенство, получим
Что и требовалось доказать. 
Значит, при условиях теоремы из двух степеней та степень больше, где 
прказатель степени больше. Нетрудно заметить, что при 
и
неравенство (5) не выполняется.