Vektorlar ustida amallar. Vektor fazo. Koordinata sistemalarini almashtirish. Affin, dekart va qutb koordinatalar sistemalari

Arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi. Vektor uzunligi

Skalyar ko`paytma xossalari

Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) va y = (y₁; y₂; …; y_n) arifmetik vektorlarning skalyar ko`paytmasi deb, vektorlar mos koordinatalari ko`paytmalarining yig`indisiga teng songa aytiladi va (x, y) shaklda yoziladi. Ta`rifga binoan,

(x, y) = x₁y₁ + x₂y₂ + …+ x_ny_n yoki
Berilgan x = (x₁; x₂; …; x_n) vektorning moduli yoki uzunligi (normasi) deb, quyidagi formula bo`yicha aniqlanadigan nomanfiy |x| songa aytiladi:
yoki .
Vektorlarning skalyar ko`paytmasi quyidagi xossalarga bo`ysinadi:

1) (x, x) ≥ 0 , 3) (x, y + z) = (x, y) + (x, z),

2) (αx, y) = α(x, y), 4) (x, y) = (y, x).

4. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi. Vektorlar orasidagi burchak. Uchburchak tengsizligi

Skalyar ko`paytma xossalaridan foydalanib, quyidagi Koshi–Bu-nyakovskiy tengsizligini isbotlash mumkin:

|(x, y)| ≤ |x| |y|.

Tengsizlik bo`yicha x va y vektorlar skalyar ko`paytmasi absolut qiymati vektorlar modullari ko`paytmasidan katta emas.

Koshi–Bunyakovskiy tengsizligi koordinatalarda

ko`rinishda yoziladi. Shunday bir yagona λ = cos φ  [-1; 1] (φ[0;π]) son tanlash mumkinki, bunda

(x, y) = |x| |y| cosφ (φ  [0; π]).

tenglik o`rinli bo`ladi. Oxirgi tenglikdan real fazoda bo`lgani kabi, abstrakt R_n fazoda ham uning x va y arifmetik vektorlari orasidagi burchak haqida gapirish mumkin va uning kattaligi kosinusini aniqlash mumkin:

R_n fazoda ham uchburchak yoki Minkovskiy tengsizligi deb ataluvchi

|x + y| ≤ |x| + |y|

tengsizlik o`rinli.

Vektorlar sistemasi.