Vektorlar algebrasi

p = (10) Lagranj funksiyasi (8) va impul’s ifodasidan foydalanib, erkin moddiy nuqtaning energiyasini aniqlaymiz:

pv - = + = . (11)

Bu munosabat juda muhim bo’lib, relyativistik zarraning tezligi nolga teng bo’lganda ham uning energiyasi noldan farqli va musbat bo’lishini ko’rsatadi, ya’ni = mc². (12) Bu kattalik zarraning tinch holatdagi energiyasi deyiladi va fundamental ma’noga ega. Demak, (11) zarraning tinch holatdagi va harakati bilan bog’liq bo’lgan kinetik energiyalaridan tashkil topgan ekan. Sistemaning harakat qonunlarini o’rganishda Lagranj funksiyasi bilan bir qatorda Gamil’ton funksiyasidan ham foydalaniladi. Konservativ sistemalar uchun Gamil’ton funksiyasi energiyaga teng. Odatda, Gamil’ton funksiyasi impul’s orqali yoziladi. Shuning uchun (9) yoki (10) ifodalardan tezlikni impul’s orqali ifodalaymiz: ² = (13) Bu ifodani (11) ga qo’yib, Gamil’ton funksiyasi uchun quyidagi ifodani topamiz: = . (14) Zarraning tezligi yorug’lik tezligidan juda kichik bo’lganda (10) va (11) klassik mexanikadagi impul’s va energiya ifodasiga o’tishi kerak.Haqiqatan ham c da Bu ifodalar quyidagi ko’rinishni qabul qiladi: p = m , (15) = mc²+ . (16) Bu yerda (15) klassik zarraning impul’siga teng. (16) esa klassik zarraning kinetic energiyasidan mc² bilan farq qiladi. Bu yana bir marta relyativistik zarraning energiyasi ikki qismdan iborat ekanligini ko’rsatadi.

Relyativistik zarralarning parchalanishi. Zarralarning to’qnashishi, sochilishi va yemirilishi masalalari elementar zarralar fizikasida, qattiq jismlar fizikasida, plazmada va boshqa bir qator masalalarda muhim ahamiyatga ega. Bu yerda yuqoridagi masalalarni klassik nuqtai nazardan o’rganamiz.Birinchi navbatda zarralarning tashqi ta’sirsiz o’z-o’zidan (spontan) parchalanish masalasini ko’rib chiqamiz. Zarralarning o’z-o’zidan parchalanishi mikrodunyoga xos bo’lib, klassik fizikada kuzatilmaydi. Bu hodisa kvant mexanikasi qonunlari o’rinli bo’lgan mikrodunyoda, ya’ni elementar zarralar yadro fizikasida muhim ahamiyat kasb etadi. Bu masala va keying mavzuda ko’rib o’tiladigan relyativistik zarralarning elastic to’qnashishi masalasi mikrodunyo qonunlari asosida kvant fizikasida to’la o’rganiladi. Bu yerda relyativistik zarra qandaydir sabab bilan o’z-o’zidan parchalanadi, deb faraz qilamiz va bumasalani klassik mexanika doirasida ko’rib chiqamiz. Bu o’z navbatida ushbu masalani kvant mexanikasida o’rganishga zamin yaratadi. Boshlang’ich vaqtda tinch turgan massasi M bo’lgan zarra o’z-o’zidan massalari m₁ va m₂ bo’lgan ikkita zarrachaga parchalansin. Bu jarayon uchun ener-

giya va impul’sning saqlanish qonunlarini yozamiz: Mc² = , =0. (1)Bu yerda bo’lgan zarrachalarning energiyasi va impul’slari. zarrachaning tinch holatdagi va kinetic energiyalardan tashkil topganligini va kinetic energiya noldan katta ekanligini hisobga olsak, , (2) Bu ifoda va energiyaning saqlanish qonunidan M > m₁ + m₂ (3) ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, zarra o’z-o’zidan parchalanishi uchun (3) shart bajarilishi kerak ekan. Aks holda ushbu parchalanishga nisbatan boshlang’ich zarra .kerak. Hosilaviy zarrachalarning impul’si va energiyalari uchun quyidagi tengliklarni yozamiz: , , . (4) Ushbu ifodalardan va (1) dan hosilaviy zarrachalarning energiyalarini massalari orqali aniqlaymiz: c², c². (5)Yuqorida ta’kidlaganimizdek, zarraning parchalanishi yadro fizikasida muhim ahamiyat kasb etadi. Shuning uchun olingan umumiy natijalarni yadrolarning barqarorlik shartini klassik nuqtai nazardan topishga tatbiq qilamiz. Protonlar soni Z, neytronlar soni A-Z (Z – atom nomeri, A- massa yoki nuklonlar soni) bo’lgan yadroni ko’rib chiqamiz. Yadroda proton va neytronlar katta kinetic energiyaga ega, ammo ular orasidagi kuchli tortishish (yadro) kuchlari yadroning barqarorligini ta’minlaydi. Shunday yadrolar mavjudki, ular o’z-o’zidan parchalanadi. Bunday yadrolar radioaktiv deyiladi. Yadroning tinch holatdagi energiyasi (Mc²) uni tashkil qilgan zarralarning tinch holatdagi energiyasi va ichki harakat energiyalarining yig’indisidan iborat bo’ladi

Relyativistik zarralarning to’qnashishi Klassik fizika doirasida ikki zarraning elastic to’qnashish masalasini ko’rib chiqamiz. Zarralarning massalari m₁ va m₂ bo’lsin. Ularning energiyasi va impul’sini to’qnashishgacha va to’qnashishdan keyin bilan belgilaymiz. Bu jarayon uchun energiya va impul’sning saqlanish qonunlari to’rt o’lchovli ko’rinishda quyidagicha yoziladi: (yoki uch o’lchovli ko’rinishda quyidagicha yozish mumkin: p₁ + p₂ = . (10) + = . (11) Energiya va impul’sning saqlanish qonunlari to’qnashish jarayonini ifodalovchi barcha kattaliklarni topish uchun yetarli. l-sistemada uchib kelayotgan birinchi zarra tinch turgan ikkinchi zarra (p₂=0, ) bilan toqnashishi masalasini qarab chiqaylik. Ikkinchi zarraning to’qnashishdan keying energiyasini ikkala zarraning to’qnashishgacha bo’lgan energiyalari va uning to’qnashgandan keyingi uchish burchagi orqali topamiz. Buning uchun avval yordamchi ifodalarni hosil qilamiz. Saqlanish qonuni (9) ni quyidagi ko’rinishda yozib olamiz: . (12) Bu 4-vektorni o’z-o’ziga skalyar ko’paytiramiz. Bunda = - = , = - = , = - = ekanligini inobatga olib, quyidagini hosil qilamiz: -( )( ) + =0. (13) Bu yerda impul’s modullarini energiya va massalar orqali yozamiz: c = )^1/2 , c = ( )^1/2. Bu ifodalarni (13) ga qo’yamiz va hosil bo’lgan tenglamani ga nisbatan yechib quyidagini olamiz: = . (14) Bu yerda = ikkinchi zarraning to’qnashish natijasida olgan energiyasi. Zarralarning peshana to’qnashishida, ya’ni yoki bo’lganda maksimumga erishadi. Bu hol uchun (14) ifodani birinchi zarraning impul/si orqali yozamiz:

( )^max = . (15) Shunga o’xshash uchun ifodani toppish mumkin. Bu ifoda juda kata bo’lganligi uchun bu yerda keltirmaymiz.