Vektorlar algebrasi

Maksvell-Lorentz tenglamalarining ikkinchi jufti.Elektr va magnit maydon kuchlanganliklari uchun yana ikkita tenglamani odat-dagidek variatsion prinsip asosida olamiz. Bunda variatsiyalanuvchi umumlashgan koordinata sifatida ta’sir integrali 10-ma’ruza (8) ifodada maydon potensiallarini olamiz. Ularni zaryadlar zichligi vat ok zichligi bilan to’liq aniqlangan deb hisoblaymiz. Ta’sir integrali (10-ma’ruza (8)) ning birinchi hadida maydon kattaliklari ishtirok etmaydi, shuning uchun uning variatsiyasi nolga teng. Ikkinchi hadda variatsiyalanmaydi. Bularni hisobga olib, ta’sir integralining variatsiyasini yozamiz: S = = 0. (1) Bu yerda ekanligi hisobga olindi. Elektromagnit maydon tenzori potensiallar orqali = ifoda bilan aniqlanishini hisobga olib, quyidagini yozamiz: S = . (2) Ikkinchi hadda {i, k} {k, i} almashtiramiz va = ni hisobga olib, (2) ni qayta yozamiz: S = . (3) Ikkinchi integralni x^k koordinata bo’yicha bo’laklab integrallaymiz: S = (4)Bu yerda to’rt o’lchovli fazoda giper sirt bo’yicha integralbo’lib, uning qiymatlari bo’yicha chegarada olinadi. Agar x, y, z bo’lsa, che-gara cheksizda yotadi. Maydon cheksizda nolga intiladi. Agar chegara boshlang’ich va oxirgi vaqt momentlari bo’lib, unda variatsiya nolga teng. Demak, (4) dagi oxirgi had nolga teng ekan. Natijada quyidagini olamiz: = 0. (5) Bu yerda variatsion prinsipga ko’ra aynan nolga teng emas, integral nolga teng bo’lishi uchun faqat qavs ichidagi ifoda nolga teng bo’lishi mumkin, ya’ni = - . (6) Bu tenglamani komponentalarda yozamiz. i = 1: = - . (7) Yoki uch o’lchovli belgilashlarda - = - (8) Qolgan ikkita (i = 2, 3) tenglama bilan bu tenglamani birlashtirib, bitta vector tenglama ko’rinishida yozamiz: rot H = j + . (9) i=0 hol uchun quyidagi tenglamani olamiz: div E = 4 (10) Tenglamalar (9) – (10) Maksvell-Lorentz tenglamalarining ikkinchi jufti ni tashkil qiladi,