Vektorlar algebrasi

Mul’tipol momentlar. Zaryadlar soni katta bo’lganda (13) va (17) ifodalar katta sondagi hadlar yig’indisidan iborat bo’ladi va amalda ulardan foydalanib bo’lmay qoladi. Bunday hollarda masalani taqribiy yechish lozimligini 1.1 mavzuda ta’kidlagan edik. Zaryadlar soni katta bo’lgan sistemalar maydonini o’rganishda kuzatish nuqtasi yetarlicha uzoq masofada, deb qarasak, (13) va (17) ifodalarni soddalashtirish mumkin bo’ladi. Kuzatish nuqtasi yetarlicha uzoqda joylashgan bo’lsin ( ). Bu yerda L zaryadlar egallagan sohaning chiziqli o’lchami. Koordinata boshini zaryadlar egallagan sohaga joylashtirsak, max va yuqoridagi shartga asosan . (18)Demak, elektrostatik maydon kuchlanganligi va potensialini aniqlovchi (13), (17) ifodalarda kichik parameter ishtirok etmoqda. Bunday hollarda masalani taqribiy yechish uchun kichik parametrning darajalari bo’yicha ifodalar qatorga yoyiladi. Qatorda talab qilinayotgan aniqlikni ta’minlab beruvchi hadlar saqlab qolinadi. Aniqlik darajasi berilmagan bo’lgan hollarda qatordagi hadlar masala ma’nosidan kelib chiqib o’rganiladi. Avval nuqtaviy zaryadlar maydonini yetarlicha uzoq masofalarda o’rganamiz. (13) ifodadagi bitta hadni qator ko’rinishda yozamiz:

= - + + … . (19)Bu yerda = 1, 2, 3, x₁=x, x₂=y, x₃=z. (19) qatorni (13) ifodaga qo’yib, quyidagini topamiz: - + (20Hosil bo’lgan hadlarning har birini qarab chiqamiz. Birinchi had – kichik parameter bo;yicha nolinchi yaqinlashishda maydon potensialini beradi:

= = . (21) Bundan ko’rinib turibdiki, - zaryadi sistemaning to’liq zaryadiga teng bo’lgan va koordinata boshiga joylashtirilgan bitta nuqtaviy zaryadning maydon potensialiga teng ekan. Maydon zaryadlar taqsimotiga bog’liq emas ekan. Shunday qilib, zaryadlar sistemasining elektr maydon kuchlanganligi bu yaqinlashishda bitta nuqtaviy zaryadning maydon kuchlanganligiga teng bo;ladi: E = - grad ( ) = . (22) Bu yaqinlashishda maydon potensiali va kuchlanganligi sferik simmetriyaga ega. Sistema elektroneytral bo’lsa ( ), nolinchi yaqinlashishda maydon potensiali va kuchlanganliginolga teng bo’ladi va qator (20) ning ikkinchi hadidan boshlanadi.