Vektorlar algebrasi

.Dipol momenti. Ifoda (20) dagi ikkinchi hadni quyidagi ko’rinishda yozamiz: - = - ( )grad = . (23) Bu yerda d = (24) zaryadlar sistemasining elektr momenti yoki elektr dipol momenti, qisqacha dipol momenti deb ataladi. Zaryadlarning taqsimoti uzluksiz bo’lganda d = d . (25)

Yetarlicha uzoq masofalarda birinchi yaqinlashishda maydon potensiali (23) zaryadlar sistemasining dipol momenti bilan to’liq aniqlanganligi uchun uni “dipol” yaqinlashishi deb ataymiz. Bu yaqinlashishda maydon kuchlanganligi

E = - grad ( ) = = . (26) Bu yerda n – kuzatish nuqtasiga o’tkazilgan radius-vektor yo’nalishidagi birlik vector. (26) dan ko’rinib turibdiki, dipol yaqinlashishda maydon asimmetriyaga ega.

Statsionar toklarning magnit maydoni.Fazoning berilgan nuqtasida vaqt o’tishi bilan o’garmaydigan toklar statsionar toklar deyiladi. Bu holda zaryad vat ok zichligi vaqtga bog’liq bo’lmaydi, ya’ni = 0, = 0. (1) Bunday zaryad va toklar hosil qilgan maydon vaqtga bog’liq bo’lmaydi: . (2) Bu holda elektromagnit maydon statsionar bo’ladi. Shunday qilib, statsionar elektromagnit maydon uchun Maksvell-Lorentz tenglamalari quyidagi ko’rinishni oladi:

rot E = 0, (3)

div H = 0, (4)

rot H = , (5)

div E = 4 (6)

Bu tenglamalar o’zaro bog’lanmagan ikkita mustaqil tenglamalar sistemasidan iborat:

1. 
   (3) bilan (6) tenglamalar zaryadlar hosil qilgan elektr maydonni ifodalaydi. Bu hol 12-mavzuda batafsil ko’rilgan elektrostatik maydonni ifodalaydi.
   
2. 
   (4) bilan (5) tenglamalar statsionar toklar magnit maydonini aniqlaydi. Elektrodinamikaning statsionar toklar magnit maydonini o’rganuvchi qismi magnitostatika deyiladi.
   

Ma’lumki, vector potensial A orqali magnit maydon quyidagicha aniqlanadi: H = rot A. (7) Buni (4) tenglamaga qo’ysak, u aynan bajariladi. (5) tenglamaga qo’yish quyidagi natijani beradi: rot H = rot rot A = grad div A - = . (8) Maydonning kalibrovka invariantligidan foydalanib, vector potensial uchun div A = 0 (9) kalibrovkani tanlaymiz. Bu holda (8) tenglama = - . (10) ko’rinishni oladi. Bu tenglama vector shaklda yozilgan Puasson tenglamasi bo’lib, uning yechimi: A(r) = . (11) Bu yerda r va mos ravishda koordinata boshidan kuzatish nuqtasiga va hajm elementidagi elementar tokka o’tkazilgan radius-vektorlar. R = r- - elemen-tar tokdan kuzatish nuqtasigacha o’tkazilgan radius-vektor. Bevosita hisoblab (11) bilan aniqlangan vector potensial (9) shartni qanoatlantirishini ko’rish mumkin: div A(r) = Bu ifoda haqiqatan ham nolga teng, chunki toklar egallagan hajm chekli va uni o’ragan sirtda, ya’ni integrallash sirtida toklar nolga teng. Endi (11) dan foydalanib, (7) ga asosan, statsionar toklarning magnit maydon kuchlanganligini aniqlaymiz: H = rot = (12) Bu formula Bio-Savar qonunini aniqlaydi. Statsionar tok uchun (1) ga muvofiq, zaryadning saqlanish qonuni + div j (r,t) = 0 quyidagi ko’rinishni oladi: div j (r,t) = 0 yoki uzluksizlik tenglamasining integral ko’rinishiga muvofiq quyidagicha yoziladi: (13) Bundan ko’rinib turibdiki, statsionar tokningyopiq sirt bo’yicha oqimi nolga teng.

Magnit momenti. Kvazistatsionar harakatdagi zaryadlar sistemasining magnit maydonini yetarlicha uzoq masofalarda aniqlaymiz. Buning uchun koordinata boshini toklar egallagan sohaga joylashtiramiz va elektrostatik maydon potensialini multipolar bo’yicha qatorga yoyganimizdagi kabi yo’l tutamiz, ya’ni ǀ deb, vector potensial (11) ni ning darajalari bo’yicha qatorga yoyamiz:A = A₀ + A₁ + … . (14) Bu yerda birinchi had (nolinchi yaqinlashish) A₀ = . (15) Bu integral (13) ga asosan nolga teng bo’lasi. Shu sababli (14) qator ikkinchi had bilan boshlanadi, ya’ni A₁ = . (16) Integral ostidagi ifodaning ko’rinishini o’zgartiramiz: {j( ) - }+ { j( ) + }. Birinchi qavsni uchta vektorning vector ko’paytmasi ko’rinishida yozish mumkin: {j( ) - } = ⦋⦋ ⦌grad ⦌ = - Ikkinchi qavsni hisoblashda kvazistatsionar toklar alohida naychalardan oqayotgan toklar to’plamidan tashkil topganligini va ni inobatga olamiz. Bunda zaryadlar holatining o’zgarishi dr va kontur elementi dl ekvivalent bo’ladi. Bularga asosan ikkinchi qavsdan olingan integralni quyidagicha yozish mumkin: = = chunki to’loq differensialdan berk kontur bo’yicha olingan integral doimo nolga teng. Shunday qilib, birinchi yaqinlashishda vector potensialni quyidagi ko’rinishda yozish mumkin:A₁ = = . (17)Bu yerda m = (18) zaryadlar sistemasining magnit momenti deyiladi. Bu kattalik zaryadlar sistemasining xossalari – toklar taqsimotiga va ularning geometric shakliga bog’liq. Vektor potensial ma’lum bo’lgandan keyin magnit maydon kuchlanganligi oson topiladi. Magnit maydon kuchlanganligini toppish uchun vector potensialdan rotor olish kerak. Magnit momenti berilgan zaryadlar sistemasi uchun o’zgarmas bo’ladi.Shu sababli rot =(bgrad)a+(agrad)b+ + ga muvofiq quyidagini yozish mumkin: H = rot A =rot = m div – (m ) . Bu yerda div a = a grad + ga asosan biribchi handing nolga tengligini ko’rsatish mumkin. Ikkinchi had uchun quyidagini hosil qilamiz: (m ) (m . Shunday qilib, H = = . (19) Bu yerda n kuzatish nuqtasiga o’tkazilgan radius-vektor yo’nalishidagi birlik vector.