Vektоr maydоnlar Ta`rif. Har bir m nuqtasiga birоr


Solenoidli naychasimon maydonlar



Download 354,5 Kb.
bet2/2
Sana28.10.2022
Hajmi354,5 Kb.
#857395
1   2
Bog'liq
12. Vektоr maydоn

Solenoidli naychasimon maydonlar

4-ta’rif. a(M ) vektor maydonning divergensiyasi ω sohaning har bir nuqtasida

nolga teng, ya’ni div a(M )  0

bo’lsa, u holda bu vektor maydon shu sohada solenoidli (yoki naychasimon) maydon deyiladi.


Solenoidli maydon uchun Ostrogradskiy formulasiga ko’ra










(2.11)

 a n0

d 0


bo’ladi, bunda σ-yopiq sirt bo’lib, ω sohani chegaralovchi tashqi normal yo’nalishidagi oriyentirlangan. Bu maydonda biror σ o yuzchani olamiz va uning chegarasini har bir nuqtasidan vektor chiziqlar o’tkazamiz (6-chizma). Bu chiziqlar fazoning vektor naycha



deb ataluvchi qismini chegaralaydi. Agar a(M ) vektor oqayotgan suyuqlikning tezliklari

maydonini tashkil etsa u holda suyuqlik oqishi davomida bunday naycha bo’ylab uni kesib o’tmasdan harakatlanadi.


σ yuzcha, biror σ1 kesim va naychaning σ yon sirti bilan chegaralangan naychaning biror qismini qaraymiz. (2.11) tenglik bunday yopiq sirt uchun












(2.12)

 a n0

d  a n0

d  a n0

d 0

0

1










ko’rinishni oladi, bunda n0 -tashqi noqmal bo’yicha yo’nalgan birlik vektor.


6-chizma.



Naychaning yon sirti σ da normallar a vektor maydonga perpendikulyar bo’lgani uchun
 
a n0 =0

bo’ladi va (2.12) tenglikdagi uchinchi qo’shiluvchi nolga teng:




  • a n0 d 0.

Shuning uchun (2.12) formuladan
   
 a n0 d  a n0 d 0.
0 1



yoki








 a n0

d  a n0

d




0

1




tenglikka ega bo’lamiz. σ0 yuzadagi normalning yo’nalishini tashqaridan ichkariga almashtirib
   
 a n0 d  a n0 d
0 1

munosanatni hosil qilamiz. Bu solenoidli maydonda vektor naychaning har bir qismidan o’tkazilgan vektor chiziqlar yo’nalishidagi vektorlar oqimi bir xil bo’lishini, ya’ni



manbasiz va qurdumsiz maydonda (chunki div a (M )  0 ) vektor naychaning har bir keismidan bir xil miqdorda suyuqlik oqib o’tishini anglatadi.


2.5. Vektor maydondagi chiziqli integral. Kuch maydoni bajargan ish. Vektor
maydon sirkulyatsiyasi
Faraz qilaylik, 0xyz fazoning ω sohasida
   
a(M ) P(x, y, z) i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k

vektor maydon berilgan bo’lsin. Bu sohada biror L egri chiziq olib unga ma’lum yo’nalish tayinlaymiz.




5-ta’rif. Yo’nalgan L chiziq bo’yicha olingan ushbu
P(x, y, z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz
L
ikkinchi tur egri chiziqli integral yoki vektor shaklidagi
 
a d r
L

integral a(M ) vektorning L chiziq bo’yicha olingan chiziqli integrali deyiladi, bunda























d r

dx i dy j

dz k.

Agar



kuch maydonni ifodalasa,



vektorning L chiziq bo’yicha chiziqli

a(M )

a

integrali ma’lum yo’nalishda L chiziq bo’yicha bajarilgan ishni ifodalaydi.
6-ta’rif. Yopiq L kontur bo’yicha chiziqli integral vektor sirkulyatsiyasi deyiladi va Ц bilan belgilanadi, ya’ni



  a d r.


L
Vektor maydon uyurmasi (rotori).


Охуz fazoningsohasida



vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda P,Q, R funksiyalar sohada differensiallanuvchi.


1-ta‘rif. Ох,Оу,Оz



o’qlarda mos ravishda

дR



дQ

,

дР



дR

,

дQ



дР

ду

дz

дz

дx

дх

ду



















proeksiyalarga ega bo’lgan vector   vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori) deb ataladi va rot bilan belgilanadi, bunda xususiy hosilalar (x, y, z) nuqtada hisoblanadi.


Demak ta‘rifga binoan:





дR




дQ

дР




дR









дQ













rot 









i 











j























ду









дz




дx









дх






дz














дР . (3.1)
 k


ду
Uyurma tushunchasidan foydalanib Stoks formulasini vektor shaklida
  (3.2)

kabi yozish mumkin.


Uyurma quyidagi xossalarga ega:



  1. rot(   ) rot  rot  ;




  1. rot( ) rot , bunda C-o’zgarmas son.




  1. rot(u ) urot  (gradu)   bunda u u(~) skalyar maydon funksiyasi.



1-misol. Ushbu

  (~)z4 x4 y4 





vektor maydonning uyurmasi topilsin.


Yechish. Рz4 , Qx4 , Ry4 ga egamiz. Hususiy hosilalarni topamiz.






дR






дQ

 4 y3 ,

дР



дR




 4z3 ,

дQ



др

 4х3.




дy




дz

дz

дх

дх

ду




























Demak, (3.1) ga asosan

rot  4 y3  4z3



  4x3   .












Chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi shartlari Faraz qilaylik Охуz fazodagi sohada

  (~)=P(х, у, z)dx Q(х, у, z)dy R(х, у, z)dz


vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda P,Q, R funksiyalar sohada differensiallanuvchi.


A va B nuqtalar sohaning ikkita ixtiyoriy har xil nuqtalari bo’lsin. Bu nuqtalarni tutashtiruvchi turli egri chiziqlarni qarab chiqamiz (8-chizma)


Agar


P(х, у, z)dx Q(х, у, z)dy R(х, у, z)dz

(3.2)

l

chiziqli integral bu yo’llarning barchasi bo’yicha aynan bir xil qiymatlar qabul qilsa, u integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi deyiladi.




3.1-teorema. (3.2) chiziqli integral sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi uchun bu sohada yotgan istalgan yopiq kontur bo’yicha olingan chiziqli integral nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.


Isboti. Faraz qilaylik, sohada yotuvchi istalgan L yopiq kontur uchun Pdx Qdy Rdz 0 bo’lsin. Bu holda chiziqli integralni integrallash yo’liga bog’liq

АmВ nА yopiq kontur bo’yicha


bo’lmasligini ko’rsatamiz.



  • sohaga tegishli А va В nuqtalarni olib ularni shu soqada yotuvchi ikkita АmВ va АnВ egri chiziqlar bilan tutashtiramiz (9-chizma) .



АmВ va АnВ yoylar АmВ nВ yopiq konturni hosil
qiladi.
Shartga ko’ra

  • Pdx Qdy Rdz 0 .



АтВnА

Buni egri chiziqli integralning xossalaridan foydalanib



  • Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz 0



АтВ ВnA

yoki


  • Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz 0



АтВ ВnА

ko’rinishda yozamiz. Oxirgi tenglikdan



  • Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz



АтВ АnВ

ekani, ya‘ni chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi kelib chiqadi. Zarurligi. Faraz qilaylik fazoda chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq


bo’lmasin, ya‘ni



  • Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz



АтВ АnВ

bo’lsin. U holda



  • Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz 0 ,



АтВ АnВ

  • Pdx Qdy Rdz Pdx Qdy Rdz 0 ,



АтВ ВnA

  • Pdx Qdy Rdz 0



АmВnА

tenglikka ega bo’lamiz. Bu tenglik istalgan yopiq olingan chiziqli integral nolga tengligini ko’rsatadi.


Endi chiziqli integralni integrallash yo’liga bog’liq bo’lish-bo’lmasligini tekshirishni osonlashtiruvchi teoremani isbotsiz keltiramiz.




3.2-teorema. Ushbu

  • Pdx Qdy Rdz



L
chiziqli integral bir bog’lamli (ichida bo’shliq bo’lmagan) sohada integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasligi uchun shu sohaning har bir nuqtasida

дR



дQ

,

дP



дR

,

дQ



дP

(3.3)

ду

дz

дz

дx

дx

ду



















munosabat bajarilishi zarur va yetarli.


2-misol. Ushbu
 (2xyz 2 )dx  (x2z)dy  ( y  2xz)dzL
chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lish-bo’lmasligini aniqlang.


Yechish. P  2xyz 2 , Qx2z, Ry  2xz ga egamiz.

(3.3) shartlarni bajarilish-bajarilmasligini aniqlash uchun xususiy hosilalarni topamiz:





дR

 1,

дQ

 1,

дP

 2z,

дR

 2z,

дQ

 2x,

дP

 2x .

ду

дz

дz

дx

дx

ду



















(3.3) shartlarning bajarilishi ko’rinib turibdi. Demak berilgan chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaydi.
Download 354,5 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish