Uzluksiz funksiyalar va ularning хоssalari

4 -Teorema: segmentda absolyut uzluksiz funksiya berilgan bo`lib, uning qiymatlari segmentda joylashgan bo`lsin. Agar segmentda berilgan berilgan funksiya Lipshits shartini qanoatlantirsa, u holda murakkab funksiya absolyut uzluksiz bo`ladi.
Isbot: funksiya Lipshits shartini qanoatlantiradi, ya`ni

tengsizlik o`rinli. Demak, ixtiyoriy o`zaro kesishmaydigan soni chekli va segmentda joylashgan oraliqlar sistemasi uchun

munosabat o`rinli.
Agar yigindi istalgancha kichik bo`lsa, u holda ning absolyut uzluksizligiga muvofiq oxirgi munosabatning o`ng tomoni istalgancha kichik bo`ladi.
5 - Teorema . Agar segmentda aniqlangan absolyut uzluksiz funksiyaning hosilasi deyarli har bir nuqtada nolga teng bo`lsa, u holda o`zgarmas songa teng.
Isbot: tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalardan iborat to`plamni bilan belgilab, ixtiyoriy sonni olamiz. Agar bo`lsa, u holda yetarli kichik son uchun
(5)
tengsizlik o`rinli bo`ladi. segmentlar sistemasi Vitali ma`nosida to`plamni qoplaydi. Chunki har bir uchun bo`lib, va yetarli kichik son.
Shuning uchun har ikkisi o`zaro kesishmaydigan, soni chekli va segmentda joylashgan shunday



segmentlar sistemasini tuzishimiz mumkinki, to`plamning bular qoplanmagan qismining tashqi o`lchovi oldindan berilgan ixtiyoriy sondan kichik qilinishi mumkin. segmentdan segmentlarni chiqarib tashlash natijasida hosil bo`lgan oraliqlar


(6)
oraliqlardan iborat bo`lib, bular uzunliklarining yig`indisi dan kichik bo`ladi,chunki

bundan

Endi ning absolyut uzluksizligidan foydalanib, berilgan bo`yicha ni shunday kichik qilib olamizki, uning uchun funksiyaning oraliqlar sistemadagi orttirmalari yig`indisining moduli dan kichik, ya`ni
(7)
bo`lsin.
Ikkinchi tomondan, segmentlarning tuzilishiga ko`ra



bundan:
(8)
chunki

(7) va (8) lardan:

va ni ixtiyoriyligidan

tenglik kelib chiqadi.
Ammo yuqoridagi mulohazlardan xar qanday segment uchun joriy etishimiz mumkin edi. Shuning uchun segmentdan olingan ixtiyoriy uchun ham

ya`ni funksiya o`zgarmas songa teng ekan.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi.
6-natija: Agar ikki absolyut va funksiyalarning hosilalari va o`zaro ekvivalent bo`lsa, u holda bu funksiyalarning ayirmasi o`zgarmas songa teng bo`ladi.