Ustida Vektorlar amallar. Vektorlarning koordinatalari

х+ у = y+ x – kommutativlik qonuni;
х+ (у+z) =(x+ y)+z – assotsiativlik qonuni;
х+ 0 = 0+ x=x.
5-TA’RIF: х=(х₁,х₂,…,х_n) vеktorni  songa ko‘paytmasi dеb shunday z=(z₁,z₂,…,z_n) vеktorga aytiladiki, uning komponentalari x vеktorning barcha komponentalarini  songa ko‘paytirishdan hosil bo‘ladi, ya’ni
z₁=x₁, z₂=x₂, …, z_n=x_n .
Biror х vеktorni  songa ko‘paytmasi x kabi belgilanadi. Bu amal quyidagi xossalarga ega bo‘ladi:
(x+y)= x+y , (±μ)x= x±μy ;
(μx)= (μ)y ;
1·x=x, 0·x=0, ·0=0.
6-TA’RIF: Har qanday x vektor uchun (–1)x= –x unga qarama-qarshi vektor deyiladi.
Qarama-qarshi vektorlar uchun doimo x+(–x) =0 tenglik o‘rinli bo‘ladi.
7-TA’RIF: Ikkita x va y vektorlarning ayirmasi deb x+(–y) vektorga aytiladi.
Vektorlar ayirmasi x–y kabi belgilanadi. Agar х=(х₁,х₂,…,х_n) vа у=(у₁,у₂,…,у_n) bo‘lsa, unda x–y= (х₁–у₁, х₂–у₂, …, х_n–у_n) bo‘ladi.
Masalan, х=(3,–2,5,7,–4) vа у=(0,7,9,–1,2) bеsh o‘lchovli vеktorlar bеrilgan bo‘lsa, unda
х+у=(3, –2,5,7, –4)+(0,7,9, –1,2)=(3+0, –2+7,5+9,7+(–1), –4+2)=(3,5,14,6, –2),
5х=5(3, –2,5,7, –4) =(53, 5(–2), 55, 57, 5(–4))=(15, –10,25,35, –20),
х–у=(3, –2,5,7, –4) – (0,7,9, –1,2)=(3, –9, –4,8, –6).
8-TA’RIF: Vektorlar to‘plami va unda aniqlangan vektorlarni o‘zaro qo‘shish hamda songa ko‘paytirish amallardan iborat sistema vеktor fazo dеb ataladi.
Chiziqli fazolar. Biz kiritgan vektor fazolar matematikada chiziqli fazolar deb ataladigan tushunchaning xususiy bir holi bo‘lib hisoblanadi. Qandaydir elementlardan (ularni vektorlar deb ataymiz) tashkil topgan L to‘plamda “+” kabi belgilanadigan biror binar “qo‘shish” amali kiritilgan , ya’ni ixtiyoriy ikkita x,y L elementlarga uchinchi bir x+y L element mos qo‘yilgan bo‘lsin. Bundan tashqari L to‘plamda songa “ko‘paytirish” amali “×” ham aniqlangan, ya’ni ixtiyoriy λ soni va x L elementga (λ×x) L element mos qoyilgan bo‘lsin. Bu amallar uchun quyidagi xossalar (aksiomalar) o‘rinli bo‘lsin:
x+y= y+x — kommutativlik qonuni ;
x+(y+z)= (x+y)+ z — “qo‘shish” uchun assotsiativlik qonuni ;
Nol deb ataluvchi shunday 0 element mavjudki, x+0=x ;
Distributivlik qonunlari:
(λ+μ) ×x=(λ×x)+(μ×x), λ×( x+y)= (λ×x)+(λ×y) ;
(λμ) ×x=λ(μ×x) — “ko‘paytirish” uchun assotsiativlik qonuni ;
1×x =x .
9-TA’RIF: L to‘plamda “qo‘shish” va ”songa ko‘paytirish” amallari aniqlangan bo‘lib, bu amallar 1 – 6 shartlarni qanoatlantirsa, unda L chiziqli fazo dеb ataladi.
Masalan, m×n tartibli matritsalar, darajasi n dan katta bo‘lmagan ko‘phadlar, bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari, [a,b] kesmada aniqlangan funktsiyalar toplamlari ularda aniqlangan qo‘shish va songa ko‘paytirish amallari bilan birgalikda chiziqli fazolar bo‘ladi.
Endi chiziqli fazolarga doir asosiy tushuncha va tasdiqlarni keltiramiz. Ular vektor fazolar uchun ham o‘rinli bo‘lishini ta’kidlab o‘tamiz. Bunda, qulaylik uchun, chiziqli fazodagi λ×x “ko‘paytirish” amalini vektor fazodagi singari λx kabi ifodalaymiz.
10-TA’RIF: Chiziqli fazoning a vеktori shu fazoning а₁, а₂,…,а_m vеktorlarining chiziqli kombinatsiyasi deyiladi, agarda qandaydir ₁,₂,…,_m sonlarda quyidagi tenglik bajarilsa: