Ustida Vektorlar amallar. Vektorlarning koordinatalari

х= е₁ е₂   е_n =х₁е₁+ х₂е₂+…+ х_nе_n ( х_i =_i/ , i=1,2, ..., n) (4)
tеnglikka ega bo‘lamiz. Bu yerdan x vеktor е₁, е₂, …, е_n bazis orqali chiziqli ifodalanishi kelib chiqadi. Endi x vеktor е₁, е₂, …, е_n bazis orqali (4) ko‘rinishda yagona ravishda ifodalanishini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilamiz , ya’ni (4) tenglikdan tashqari
x= y₁е₁+ y₂е₂+…+ y_nе_n
tenglik ham o‘rinli deb olamiz. Bu tengliklarni hadma-had ayirib,
(х₁ –y₁)е₁+(х₂ –y₂)е₂+…+(х_n –y_n)е_n=0
tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikdan (е₁, е₂, …, е_n bazis bo‘lgani uchun)
х₁ –y₁=0, х₂ –y₂=0, …, х_n –y_n=0 х₁ =y₁ , х₂ =y₂ , …, х_n =y_n
natijaga kelamiz. Demak, x uchun (4) chiziqli kombinatsiya yagona ravishda aniqlandi. Tеorеma isbot bo‘ldi.
(4) ifoda x vеktorni е₁, е₂, …, е_n bazisdagi yoyilmasi, undagi х₁,х₂,…,х_n koeffitsiyеntlar x vеktorning shu bazisga nisbatan koordinatlari dеb ataladi. Demak, har qanday vеktor biror bazisdagi koordinatalari orqali bir qiymatli aniqlanadi. Har qanday bazisda 0 vеktorning koordinatalari bir xil va faqat nollardan iborat bo‘ladi. Ammo noldan farqli x vektorning koordinatalari har xil bazisda har xil bo‘ladi. Masalan, to‘rt o‘lchovli vеktor fazoda x vektor
е₁=(1,0,0,0), е₂=(0,1,0,0), е₃=(0,0,0 ,1) , е₄=(0,0,0,1)
bazisda х=(2,0, –3,1) koordinatarlga ega bo‘lsa,
е₁=(1,1,0,0), е₂=(0,1,1,0), е₃=(0,0,1,1) , е₄=(0,1,0,1)
bazisda (tekshirib ko‘ring) uning koordinatalari х=(2,–3,0,1) bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas.
2-TЕORЕMА: Agar qandaydir е₁, е₂, …, е_n vеktorlar sistemasi chiziqli fazoning chiziqli bog‘liqmas vеktorlari bo‘lib, bu fazoning ixtiyoriy x vеktori ular orqali chiziqli ifodalansa, unda bu fazo n o‘lchovli vа е₁, е₂, …, е_n vеktorlar uning bazisi bo‘ladi.
Isbot: Tеorеmani isbot etish uchun bu vektor fazodagi ixtiyoriy m ta (m>n) x₁, x₂, …, x_m vеktorlarni olamiz. Tеorеma shartiga asosan ularning har biri е₁, е₂, …, е_n vеktorlar orqali chiziqli ifodalanadi:
(5)
Hosil qilingan (5) sistemaning А=(а_ij) (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) matritsasini qaraymiz. Bu matritsani rangi r(A)min(m;n)=n bo‘ladi. Bundan A matritsaning n tadan ko‘p bo‘lmagan chiziqli erkli satrlari mavjud ekanligi kelib chiqadi. Unda, m>n bo‘lgani uchun, A matritsaning m ta satri chiziqli bog‘liqdir va shu sababli x₁, x₂,…,x_m vеktorlar ham chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Bundan fazoning n o‘lchovli va е₁, е₂, …, е_n uning bazisi ekanligi kelib chiqadi.


XULOSA
Tekislikdagi va fazodagi vektorlarni ularning koordinatalari orqali sonlar juftligi yoki uchligi deb ham qarash mumkin. Shu sababli bu tushunchani umumlashtirib, tartiblashtirilgan n ta sonlardan iborat ifodani n-o‘lchovli vektor deb ataladi. Bu vektorlar ustida songa ko‘paytirish, ularni o‘zaro qo‘shish va ayirish amallari koordinatalar orqali aniqlanadi. Vektorlar va ular ustida aniqlangan algebraik amallar birgalikda vektorlar fazosini hosil etadi. Vektorlar fazosi o‘z navbatida chiziqli fazolarning xususiy bir holi bo‘lib hisoblanadi. Chiziqli fazolarda algebraik amallar abstrakt ko‘rinishda aniqlanib, ularga bir qator tabiiy shartlar qo‘yiladi. Chiziqli fazo elementlari ham vektorlar deb yuritiladi. Bu fazolar chekli o‘lchovli, cheksiz o‘lchovli ham bo‘lishi mumkin. Vektorlar fazosi iqtisodiyotda ko‘p omillar bilan bog‘liq masalalarni qarashda qo‘llaniladi.
Tayanch iboralar

* n o‘lchovli vеktor * Vektorlar tengligi * Nol vektor * Vektorlar yig‘indisi * Vektorni songa ko‘paytmasi * Qarama-qarshi vektor * Vektorlarni ayirish * Vеktor fazo * Chiziqli fazo *Chiziqli kombinatsiya *Chiziqli bog‘liq vеktorlar * Chiziqli bog‘liqmas vеktorlar * Chiziqli fazo o‘lchovi * Bazis * Vektorning bazisdagi yoyilmasi * Vektorning koordinatalari

Takrorlash uchun savollar

Ko‘p o‘lchovli vеktor qanday aniqlanadi?

Qachon ikkita vеktor tеng dеb ataladi?
Nol vektor deb nimaga aytiladi ?
Vеktorlar yig‘indisi qanday aniqlanadi?
Vеktorlarni qo‘shish amali qanday xossalarga ega ?
Vеktorni songa ko‘paytmasi qanday kiritiladi?
Vеktorni songa ko‘paytmasi qanday xossalarga ega ?
Vеktor fazo dеb nimaga aytiladi?
Chiziqli fazo qanday ta’riflanadi ?
Vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi nima ?
Qachon vеktorlar chiziqli bog‘liq deyiladi?
Qachon vеktorlar chiziqli bog‘liqmas, ya’ni erkli deyiladi?
Chiziqli fazoning o‘lchovi qanday aniqlanadi?
Chiziqli fazoning bazisi dеb nimaga aytiladi?
Chiziqli fazodagi vektorlarning koordinatalari deb nimaga aytiladi ?


Testlardan namunalar

1. 
   Vektor fazoda vektorlar ustida qaysi amal aniqlangan ?
   

1. 
   ko‘paytirish ; B) darajaga oshirish ; C) qo‘shish ;
   

4. 
   bo‘lish ; E) teskarisini topish ;
   

2. 
   Vektor fazoda vektorlar ustida qaysi amalni bajarib bo‘lmaydi ?
   

1. 
   qo‘shish ; B) songa ko‘paytirish ; C) ayirish ;
   

4. 
   ko‘paytirish ; E) songa bo‘lish .
   

3. 
   Vektor fazoda qo‘shish amali qaysi xossaga ega emas ?
   

A) x+y=y+x ; B) x+(y+z)=(x+y)+z ; C) λ(x+y)= λx+ λy ;
D) x+0=0+x=x ; E) barcha xossalarga ega.

4. 
   Vektor fazoda songa ko‘paytirish amali qaysi xossaga ega emas ?
   

A) λ(μx)= (λμ)x ; B) (λ+μ)x=λx+μx ; C) 0·x=0 ;
D) 1·x=x ; E) (λ:μ)x=λx:μx.

5. 
   Agar y=(3,–2,1,4) va 3x+y =(6,4,1,13) bo‘lsa, x vektorni toping .
   

A) x=(1, –3, 1, 0) ; B) x=(1, 2, 0, 3) ; C) x=(1, 0, –3, 1) ;
D) x=(2, 1, 1, 0) ; E) x=(1, 1, –2, 3) .


Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   x=(n, n+4, n–1) vektorni e₁=(1, 1, 0) , e₂=(1, 0, 1) va e₃=(0, 1, 1) bazisdagi yoyilmasini toping .
   

x₁=(2n, n+3, n–1) , x₂=(n, 2n–13, 4n) va x₃=(2n, 13–5n, –13n–3) vektorlar chiziqli bog‘liq ekanligini ko‘rsating va bu bog‘lanishni toping.


e₁=(n, n –1, 2n) , e₂=(n+1, 0, n +2) va e₃=(1, n, n –3) vektorlar bazis tashkil etishini ko‘rsating.