Урматы вопросы 6 семестр

Урматы вопросы 6 семестр

1. 
   Расстояние между точками, понятие области, граница области. Понятие непрерывной и дифференцируемой функции на нормальной области, понятия дифференциального эллиптического оператора второго порядка и граничного оператора. Скалярное произведение в пространстве функций и гильбертово пространство. Ортогональность и норма функций в нем. Задача Штурма-Лиувилля в многомерном случае (формулировка теоремы). Сходимость в среднеквадратичном. Ряд Фурье и его сходимость (без док.)
   

2. 
   Постановка краевых задач для уравнения теплопроводности в цилиндре - первая, вторая, третья и общая краевые задачи. Построение формального решения Фурье для однородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями.
   

3. 
   Построение формального решения Фурье для неоднородного уравнения теплопроводности с однородными граничными условиями. Редукция общей неоднородной краевой задачи для уравнения теплопроводности.
   

4. 
   Первая и вторая формулы Грина для эллиптического дифференциального оператора.
   

5. 
   Теорема о сходимости формального решения Фурье к точному для уравнения теплопроводности. Следствие (единственность). Понятие обобщенного решения.
   

6. 
   Постановка краевых задач для уравнения колебаний в цилиндре - первая, вторая, третья и общая краевые задачи. Построение формального решения Фурье для однородного уравнения колебаний с однородными граничными условиями.
   

7. 
   Построение формального решения Фурье для неоднородного уравнения колебаний с однородными граничными условиями. Редукция общей неоднородной краевой задачи для уравнения колебаний. Теорема о сходимости формального решения Фурье к точному для уравнения колебаний (без док.). Следствие (единственность).
   

8. 
   Эйлеров интеграл второго рода и его свойства.
   

9. 
   Гамма-функция Эйлера и ее свойства (определение, аналитичность, отсутствие нулей и т.д. теорема умножения без док.)
   

10. 
    Гамма-функция Эйлера – определение и теорема умножения – доказать.
    

11. 
    Понятие основного ряда и его сходимость. Понятие цилиндрических функций.
    

12. 
    Лемма Остроградского-Лиувилля и некоторые свойства цилиндрических функций.
    

13. 
    Понятие цилиндрических функций. Функции Бесселя. Теорема о функции Бесселя как решении уравнения цилиндрических функций (доказать только лемму об основном ряде)
    

14. 
    Понятие цилиндрических функций. Функции Бесселя. Теорема о функции Бесселя как решении уравнения цилиндрических функций (доказать теорему, лемму об основном ряде считать известной). Свойства функций Бесселя.
    

15. 
    Функция Неймана и ее свойства. Общее решение уравнения цилиндрических функций.
    

16. 
    Ортогональность функций Бесселя (доказать). Следствие (без док.).
    

17. 
    Ортогональность функций Бесселя (без док.). Следствие (док.)
    

18. 
    Нули цилиндрических функций. Вещественность нулей функции Бесселя. Теорема о нулях функций Бесселя.
    

19. 
    Построение формального решения уравнения колебаний в круге (с помощью функций Бесселя).
    

20. 
    Построение формального решения уравнения теплопроводности в круге (с помощью функций Бесселя).
    

21. 
    Определение и общие свойства многочленов. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Многочлены на множестве. Линейные пространства многочленов и их свойства – размерность, изоморфизм, представление любого многочлена.
    

22. 
    Понятие ортогональных с весом систем многочленов и их свойства. Существование таких систем для любого веса. Свойства ортогональных систем многочленов и их нулей. Следствие. Многочлены Лаггера и Эрмита.
    

23. 
    Многочлены Лежандра (формула Родрига) и их свойства (первые три многочлена, значения в единице и минус единице, уравнение Лежандра, рекуррентные формулы (без док.)).
    

24. 
    Ортогональность многочленов Лежандра.
    

25. 
    Вычисление нормы многочленов Лежандра. Задача Штурма-Лиувилля для многочленов Лежандра и ее решение (без док.).
    

26. 
    Задача Штурма-Лиувилля для многочленов Лежандра и ее решение (без док.). Формальное решение уравнения Лапласа, не зависящее от одного угла. Задачи для уравнения Лапласа в шаре и вне шара.