Urganch Davlar Universiteti Fizika – Matematika fakulteti Amaliy matematika va fizika kafedrasi Amaliy matematika va informatika yo’nalishi

Lemma 3.1. (P.Laks). Ushbu

, (3.16)

qator umumlashgan ma`noda yaqinlashuvchi bo`ladi va uning yig`indisi parametrga bog`liq bo`lmaydi.

Isbot. Ta’rif 3.2 ga ko`ra ushbu

,

qator umumlashgan ma’noda yaqinlashuvchi bo`ladi.

(3.16) qator umumlashgan ma`noda yaqinlashuvchi bo`lishi, ortonormallangan xos funksiyalarning ushbu

asimptotikasidan kelib chiqadi. (3.16) qator yig`indisini bilan belgilaymiz

,

va bu funksiyaning parametrga bog`liq emasligini ko`rsatamiz. Buning uchun bo`yicha olingan hosila nolga teng bo`lishini ko`rsatish kifoya:

, (3.17)

, (3.18)

. (3.19)

Xos funksiyalarning ortonormallanganligini, ya’ni

bo`lishini e’tiborga olib, ushbu

tenglikni hosil qilamiz. (3.19) formulaga asosan

(3.20)

bo`ladi.

(3.18) ifodani (3.17) tenglikka qo`yamiz:

(3.21)

(3.20) tenglikka ko`ra (3.21) qatorning yig`indisi uchun bajariladi, ya’ni funksiya parametrga bog`liq emas.

Lemma 1 isbotlandi.

Bu lemmaga asosan quyidagi tenglik o`rinli:

(3.15) tenglikning o`ng tarafidagi qator o`rniga ni qo`yib (3.5) tenglikni hosil qilamiz:

(3.1) chegaraviy masalaning regulyarlashtirilgan izini hisoblashdan oldin, quyidagi

(3.22)

yordamchi Dirixle masalasining izini hisoblaymiz.

(3.22) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini orqali belgilaymiz. Bu holda xos qiymatlari uchun quyidagi

(3.23)

asimptotik formula o`rinli bo`lishi bizga ma’lum. Bu yerda

(3.24)

Ushbu

(3.25)

sonli qator (3.23) asimptotik formulaga ko`ra absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.

Shuning uchun (3.25) sonli qator yagona yig`indiga ega bo`ladi.

Ta’rif 3.3. (3.25) sonli qatorning yig`indisiga (3.22) Dirixle masalasining izi deyiladi.

Teorema 3.2. (I.M.Gelfand, I.M.Levitan). (3.22) Dirixle chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi uchun quyidagi

(3.26)

formula o`rinli.

Isbot. (3.26) formulani P.Laks usulidan foydalanib isbotlaymiz. Buning uchun bo`lgan holda hosil bo`lgan

chegaraviy masalaning xos qiymatlarini

va ortonormallangan xos funksiyalarini

topib olamiz. So`ngra Laks teoremasidagi

(3.27)

funksional qatorning yig`indisini topamiz. (3.27) qator odatdagi ma’noda uzoqlashtiruvchi, chunki qator yaqinlashishining zaruriy sharti bajarilmaydi. Ammo bu qator umumlashgan ma’noda yaqinlashadi. Umumlashgan funksiyalar kursidan (3.21) bizga quyidagi tengliklar ma’lum:

(3.28)

(3.29)

(3.28) tenglikni oraliqda qarasak,

(3.30)

bo’ladi. (3.30) tenglikda o`rniga ni qo`yamiz:

(3.31)

(3.29) formuladan foydalanib, (3.31) tenglikni quyidagi ko`rinishda yozamiz:

Demak, ushbu

formula o`rinli bo`lar ekan. Bundan foydalanib (3.27) tenglikni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

(3.5) tenglikdan quyidagi

tenglik kelib chiqadi.

Endi (3.1) chegaraviy masalani regulyarlashtirilgan izini Krum almashtirishidan foydalanib hisoblashjmiz mumkin.

Teorema 3.3 (B.M.Levitan). (3.1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi uchun ushbu

formula o`rinli. Bu yerda

Isbot. Krum almashtirishi yordamida (3.1) chegaraviy masalani quyidagi

(3.32)

Dirixle masalasiga keltiramiz. Bu yerda

(3.33)

funksiya (3.1) chegaraviy masalaning xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyasi. funksiya esa quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:

(3.34)

(3.35)

Agar (3.1) chegaraviy masalaning xos qiymatlari bo`lsa, u holda (3.32) masalaning xos qiymatlari bo`ladi. (3.33) va (3.34) tengliklardan ushbu

(3.36)

formula kelib chiqadi. (3.32) chegaraviy masala uchun regulyarlashtirilgan izlar formulasini yozamiz:

(3.37)

Bu yerda

(3.38)

(3.33) ifodani (3.38) tenglikka qo`yib, (3.35) formulalarni inobatga olsak,

kelib chiqadi. Endi (3.36) tenglikni (3.37) formulaga qo`yib, ushbu

izlar formulasi kelib chiqadi.