|
2-§. Krum almashtirishi va uning tadbiqlari
Ushbu
(2.1)
(2.2)
Shturm-Liuvill chegaraviy masalasini koʻrib chiqamiz. Bu yerda haqiqiy sonlar, kompleks parameter. (2.1) va (2.2) masalaning xos qiymatlarini
orqali, ularga mos keluvchi xos funksiyalarni
orqali belgilaymiz. boʻlsin, u holda xos funksiyalar ham cheksiz marta differensialllanuvchi boʻladi.
Quyidagi funksiyalarni kiritib olamiz.
Teorema.2.1.(Krum M.M) Agar boʻlsa, quyidagi Shturm-Liuvvill masalasining xos qiymatiga mos keluvchi xos funksiyasi boʻladi:
(2.3)
(2.4)
Bu yerda
(2.5)
Agar boʻlsa (2.3)+(2.4) masala regulyar bo’ladi. Agar boʻlsa,
∼
boʻladi. Agar boʻlsa, boʻladi. Agar boʻlsa funksiya oraliqda ta nolga ega boʻladi. Bundan tashqari funksiyalar sistemasi fazoda toʻla boʻladi.
Izoh.1. Ayrim adabiyotlarda boʻlganda Krum almashtirishi Darbu almashtirishi deb yuritiladi.
Isbot. boʻlgan hol. Bu holda
(2.6)
boʻladi. Bu yerda
Ravshanki,
(2.7)
(2.8)
(2.7) va (2.8) tengliklarga koʻra
(2.9)
oʻrinli boʻladi.
Quyidagi hosilani hisoblaymiz:
(2.10)
(2.11)
(2.10) va (2.11) tengliklarga koʻra
oʻrinli boʻladi. Demak,
(2.12)
oʻrinli boʻladi. Bundan tashqari
ya’ni
(2.13)
(2.12) tenglikni oraliqda integrallaymiz:
Bu yerda (2.13) ni hisobga olsak,
(2.14)
kelib chiqadi. (12) tenglikni oraliqda integrallaymiz:
Bu yerda (2.13) ni hisobga olsak,
(2.15)
kelib chiqadi.
Quyidagi hisoblashlarni bajaramiz:
ya`ni
(2.16)
(2.16) dan hosila olamiz:
(2.17)
Bu yerda
(2.18)
(2.9) tenglikka ko`ra (2.18) ayniyatni quyidagicha yozamiz:
(2.19)
Agar tenglikni hisobga olsak, tenglik (2.19) ushbu
(2.20)
ko’rinishni oladi. Agar (2.16) tenglikni hisobga olsak,
(2.21)
kelib chiqadi.
Ma`lumki, xos funksiya oraliqda ta ildizga ega. Agar funksiyani tuzib olsak, u oraliqda ta ildizga ega. Roll teoremasiga ko`ra, har bir oraliqda funksiyaning kamida bitta ildizi bor. Demak, funksiya oraliqda kamida ta ildizga ega. Agar funksiyaning oraliqdagi ildizlar soni tadan ko`p bo`lsa, masalan ta bo`lsa, (2.13) ga asosan kesmada funksiyaning ildizlar soni ta bo`ladi. (2.12) ga asosan Roll teoremasiga muvofiq funksiyaning oraliqda kamida ta ildizi bo`ladi. Ziddiyat, chunki funksiyaning oraliqda aniq ta ildizi bor. Demak, funksiyaning oraliqda aniq ta ildizi bor ekan. Bu fikrdan xos funksiyalar (2.3)+(2.4) masalaning barcha xos funksiyalaridan iborat bo`lishi kelib chiqadi.
Agar bo`lib, funksiya (1) tenglamaning ixtiyoriy yechimi bo`lsa, ushbu
,
funksiya, (2.3) tenglamaning yechimi bo’ladi.
Agar bo`lsa, bo`ladi, bu yerda funksiya (2.1) tenglamaning ixtiyoriy yechimi. Bundan, (2.3) tenglamaning bitta yechimi bo`lishi kelib chiqadi. Quyidagi funksiyalar (2.3) tenglamaning bo`lgandagi chiziqli erkli yechimlari bo`ladi:
(2.3)+(2.4) masalaning xos funksiyalaridan boshqa xos funksiyasi yo`q ekaniligini, (2.3) tenglamaning umumiy yechimi haqidagi fikrlardan foydalanib tekshirib ko`rish mumkin.
Endi teoremadagi fikrni holda isbotlash maqsadida uchun isbot qilindi deb olib, bu fikr uchun ham o`rinli ekanligini ko`rsatamiz.
determinant uchun, ushbu
ayniyat o`rinli bo`ladi. Bunga ko`ra,
(2.23)
Bu yerda
(2.24)
(2.23) tenglikdan
(2.25)
kelib chiqadi. Quyidagi ifodani
(2.25) tenglikka qo`yamiz:
(2.26)
Ushbu
(2.27)
belgilashni kiritamiz. U holda
(2.28)
bo`ladi. (2.26) formulaga ko`ra
(2.29)
(2.30)
bo`ladi. (2.24) formulaga ko`ra
(2.31)
(2.31) tenglikni (2.30) ayniyatga qo`yamiz:
(2.32)
Bu yerda
(2.33)
(2.5) tenglikka ko`ra
bo`ladi. Bunga asosan (2.33) ayniyatdan
ya’ni
(2.34)
kelib chiqadi. (2.32) tenglikda deb, (2.28) ayniyatga qo`ysak,
(2.35)
kelib chiqadi. funksiyalar uchun, chegaraviy shartlar bajarilishini ko`rsatamiz. Buning uchun quyidagi asimptotikalarni induksiya usulida isbot qilamiz:
(2.36)
(2.37)
(2.38)
bo`lsin. U holda va
bo`ladi. Bu holda Bularga ko`ra
ya`ni
(2.39)
(2.12) formulaga ko’ra
,
ya’ni
(2.40)
o`rinli bo`ladi. (2.39) va (2.40) asimptotikaga ko`ra
, (2.41)
o`rinli bo`ladi. Demak, bo`lgan holda (2.36), (2.37), (2.38) asimptotikalar isbotlandi. (2.36) – (2.38) asimptotikalarni uchun to`g`ri deb olib, ularni uchun ham to`g`ri bo`lishini ko`rsatamiz. (2.26) formulaga ko`ra:
(2.42)
(2.29) ayniyatga ko`ra:
bo`ladi. (2.42) ga muvofiq
(2.42`)
Bunga ko`ra da
∼
(2.43)
Bu yerda
(2.42`) dan hosila olsak,
∼
(2.44)
kelib chiqadi. (2.44) ga asosan ushbu
(2.45)
asimptotikani topamiz. Shunday qilib, (2.36), (2.37), (2.38) asimptotikalar isbotlandi. Xuddi shunday usul bilan shunga o`xshash asimptotikalarni bo`lgan holda ham isbot qilish mumkin, bunda o`rnida lar turadi. Bu asimptotikalarga ko`ra bo`ladi.
Endi ushbu
(2.46)
asimptotikani keltirib chiqaramiz. bo`lgan holda funksiya kesmada ildizga ega emasligidan formulaga ko`ra bo`lishi kelib chiqadi ( yetarlicha sillliq). (2.46) asimptotika uchun isbot qilindi deb olib, uchun to`g`ri bo`lishini ko`rsatamiz:
Shunga o`xshash fikr bo`lganda ham o`rinli bo`ladi.
Krum almashtirishiga doir misollar keltiramiz.
Do'stlaringiz bilan baham: | 
