Упругости для неоднородных анизотропных тел 3-bob bir hil bo'lmagan anizotrop jismlar uchun elastiklik nazariyasining variatsion tamoyillari

езз-(а

Деформации е можно выразить через и ш, вычислив компоненты трехмерного метрического тензора д а [ в недеформированном состоянии и gui в деформированном с учетом (2) и сохраннв в выражении е — gui лишь слагаемые, линейные относительно перемещений:
ар ар
где е и р — симметричные поверхностные тензоры соответственно тангенциальных и изгибных Деформаций базисной поверхности, зависящие от ее перемещений:

_+ + — — bXVa у -4-
) ш]• (1.7)
В еличины е имеют ясный геометрический смысл: е совпадают с компонентами е трехмерного тензора деформации в точках поверхности S, а рав bu.\ ¯b..L.$ представляют собой разность кривизны оболочки до и после деформироваиия. Однако эти деформации имеют недостаток: между ни.ми и соответствующими им (в энергетнческом смысле) компонентами усилий и моментов н ^ав нет статико-геометрической аналогии [4.12] (см. S 7).
Чтобы ее обеспечить, для

запнсн уравнений теории обо-
лочек используют другие де-	Рнс. 4.2. Усилия и моменты в
формации, связанные с 8, ли-	оболочке.

н ейными зависимостями, и соответствующие им усилия. Например, в [4.11] наряду с р рассматривается несимметричный теизор изгибиой деформации р^ис : нс
Рав +
и несимметричный тензор усилий твс (рис. 4.2). Нееимметричность и тнс прпводит к тому, что они, кроме дифференциальных

[ГЛ. 4

уравнений неразрывности и равновесия, должны быть подчииены условиям
— 0, сав (токе +
выражающим симметрию трехмерных тензоров деформаций и напряжений.
В даиной кннге в качестве меры изгибной деформации используется симметричный тензор [4.12]
1 нс
дав —Т + ¯ ¯ Рав + Т + ь Уе
Деформациям е, 1.1 соответствуют симметричные тензоры усилий и моментов тав
н с
Из (6), (7), (10) следуют выраження џ через перемещения

Шесть компонентов деформацин: ем, ею — 821, Ия и V12 = V2l, связаны между собой уравнениями неразрывности базисной поверхности

где
— L^E (е, р) ее + L (е, Р) п, — (с^ау с^ЕВ џув) +
— — vavo (с ^оу с^а дув) +
Геометрические граничные условия теории оболочек, согласующиеся с гипотезами (2), (4), имеют вид

Здесь, как и в гл. З, штрих и двойной штрих соответственно означают, что равенство относится к тем компонентам усилий (перемещений), для которых заданы статические или геометрнческие граничные условия; звездочкой обозначены заданные на контуре величины.
Соотношения (6), (12), (15), а также (13) являются геожетрическижи уравненияжи теории оболочек в области S и на контуре С.
1.3. Усилия и момеиты, физические зависимости. Энергетиче• ские компоненты усилий и моментов, соответсгвующие выбраниым компонентам деформадий (т. е. работающие на этнх дефор••
мациях), удобнее всего ввести вариационньтм путем на основе функционала Лагранжа.
После того, как перемещения и деформации в оболочке как трехмерном теле выражены через перемещения и деформации и, 8, ее базисной поверхности, а геометрические граничные усло• вия для v— через контурные условня для и, бу, трехмерный функционал Лагранжа для оболочки становится квадратичной функцией от и, 8, р:
еаЕ
Х
(1.16)
т. е. функционалож Лагранжа для Двумерной краевой задаци расчета оболочки. Дополнительными условиями к нему являются геометрические уравнеиия (6), (12), (15).
Полученная двумерная вариационная задача отличаетси от трехмерной тем, что минимум функционала отыскивается не по всем трехмерным полям перемещений и деформаций, а только по тем, которые совместимы с гипотезами Кирхгофа -— Лява.
Квадратичная часть функционала (16) представляет собой интеграл от квадратичной формы П (8, џ), зависящей от шести деформаций епр ера, џар — дра, которые можно считать 06• общенными перемещениями.
Квадратичная форма П имеет 21 различный коэффициеит, которые однозначно определяются выражением (16); ее можно

записать в виде
dpqxpх (d — dqp),

где (811, е 22, 812, Ди, [-122, [112). Для обеспечения тензорной формы записи в качестве аргументов П рассматривают восемь переменных еар, да в, связанных двумя условиями симметрии — Ди; при этом
+ дуву5џавџу5). (1.18)
В (18), вообще говоря, 48 различных коэффициентов gi
связаны с dpq из (17) 21 уравнечием, которые можно получить, если в (17) и (18) приравнять коэффициенты ари одинаковых произведениях деформаций с учетом симметрии е, р. Таким образом, коэффициенты определяются выражением (18) не. бднозначно. Целесообразно их выбрать симметричными, положив

В (19) содержится 27 равенств, которые вместе с 21 уравнением, указанными выше, составляют систему из 48 уравнений, однозначно определяющпх 48 коэффициентов в (18), среди которых не более 21 различных.
Обобщенные усилия т ^а и ломенты м ^аВ можно ввест11 формально как производные от (16) по обобщениым перемещениям еав, џар; условия (19) обеспечивают симметрию тензоров
тва — ДЭјпР8ар — gl м ^ав (е, р) — м ^ра — ДЭј12/Драв —
Равенства (20) являются физическнми завпсияостями теории оболочек и позволяют записать фу'нкционал (16) в форме, представленной в табл. 4.1. Физические константы ДЕ совпадают с коэффициентами квадратичной формы (18). Из (16) следует, что они зависят от кривизн Ьав. Однако обычно их упрощают, пренебрегая (в соответствии с точностью уравнений теории оболочек) величииами такого же порядка малости, как hbQ$, по сравнению с единицей в (5). Выражения для упрощенных таким образом физически.х коэффициентов не содержат кривизн Ьав,
( 19) следует:
арзз ззу5[ 3333) dz
h,
Исходя из трехмерного функционала Ј1аграижа и учитывая, что е, ие зависят от г, можпо (16) записать
О тсюда следует физический смысл величин Т, М как интегральиых характеристик напряженного состояния оболочки и тот факт, что введенные, согласно (20), Т, М совпадают с построенными в [4.121 на основе (11).
Физические зависимости (20) могут быть представлены в обратной форме:
еаВ — а в „туб + р муз
1.4. Статические уравиения. Сим-

метричные усилия и моменты (20)	Рис. 4.3. Усилия и момеит
должны удовлетворять уравнениям равновесия [4.121, которые можио	на контуре оболочки.

вывести, например, из фуикциоиала Лагранжа (16) в качестве условий стационарностн:

где
^ьв — ьДм ^3й ) + q ^a , (1.25)
еп -1- qn — вектор нагрузки на поверхности S. Кроме того и должны удовлетворять граничным усло-
виям (рис. 4.3)
— 0 на С, (1.26)

(ГЛ. 4

где

мум (М) раувм^ав.
Здесь штрих обозначает, что равенства (26) относятся к тем компонентам усилий и моментов, для которых заданы статические граиичные условия.
Уравнения равновесия (24) имеют параметрическое общее решение

— (ь}гьфл +
где параметры фа, (Р — компоненты вектора функций напряжений
фае^а -1- (РП,
По — «углы напряжений»

маз тав — какое-либо частное решение неоднородных уравиений равновесия.
Соотиошения (24) и (26), а таюке (29), являются статическими уравнениями теории оболочек в области S и на контуре С.
1.5. О взаимосвязи различных форм геометрических и статических граиичных условий. Геометрические граничные условия во многих случаях могут быть поставлены в деформациях. В частности, уравнения (15) могут быть преобразованы к деформационным граничным условням следующим образом.
Производную по контуру от трехмерного вектора перемещений контурных точек можно выразить через теизоры трехмерных деформаций е и углов поворота о в окрестности данной точки:
(1.32) Как известно, три иенулевых компонента кососимметричного теидора о можно выразить через компоненты вектора углов поворота П: — €ifhQ ^h , откуда
(1.33)
На осиове гипотезы прямых нормалей компоненты в системе координат, связанной с базисной поверхностью, равны

Вектор в системе координат (v, i, п), связанной с контуром, можно представить в виде

В силу гипотезы прямых нормалей третье слагаемое равно иулю, а первые два представляют собой деформации базисной поверх-
иости ett ¯ etv — t ^a v ^R e

Вектор v можно представить в виде = —n Х t, и тогда равеиство (32) с учетом (35) примет внд
du dC
Производная по контуру от вектора

dC
представляет собой вектор искривлений граничного элемента, который с помощью гипотезы прямых иормалей может быть выражеи через деформации базисной поверхности:

С помощью (6), (12) нетрудно проверить, что величииы х^а, х, ett являются функциями перемещеиий Ии, и угла поворота на коитуре С и их производных t'Iv по С:
+ bB0t.0),
(1.40)

[ГЛ. 4

Компоненты вектора х вместе с ett составляют na60D деформаций контура, которые определяют перемещеиия и углы поворота на контуре с точностью до шести констант, определяющих жесткое смещение. Действительно, интегрируя равенства (38) и (37), можно по известным х и ett и начальным значениям ид, (ПО А векторов и и Qt в точке А иайти перемещения и углы поворота в точке В контура:
В xdC,
В
и
Деформационные граничные условия имеют вид
—0 на С. (1.42)
Уравнения (42) являются условиями стационарности фх^т нкииоиала Кастильяно в функциях напряжений [5.3], см. S 2.2. Заметим, что деформационные граничные условия в 1] невариационным путем в координатах (у, t, п) и выражены через компоненты деформаций е. џ^нс : их можно преобразовать к (42), используя (8) и правило преобразования компонентов векторов при замене координат (см. Приложение 2).
Статические граничные условия в функциях напряжений

могут быть поставлены взамен граничных условий в усилиях (26), например в тех случаях, когда (26) заданы на одной связной части контура С. Для этого граничные усилия (28) должны быть выражены через граничные значения фуикций напряжений и нормальной производной Раф, которую можно замеинть «углом напряжеиий» ла, см. (31):
О» — (Мо, Т (гвф+ьћфд)]— — b ^a c ^6B t^Y — Ьувф), Q (Ф) — Q (Мо) + (Ипру — ьвуф)], _ tBta (Раф в — ьавф).
Граиичные значепия вектора фупкпий напряженнй можно получить, интегрируя, по е-:алогии с (41), вектор и момент М * ,
в соответствии с равенствами
В
(е» в — (9t)A + lQ (М, Т) — Q (Мо, то)] ас,
в
+ S {[Mvv (М) — ми, (Мо) t + е, Х t} dC,
где — вспомогательный вектор, который, пользуясь аналогией с Пь можно назвать вект ором «углов напряжений» элемента контура оболочки.
Граничные условия (15) и (42) эквивалентны с точностью до постоянных интегрирования. Если уравнения (15) заданы на одной связной части контура С, то (15) и (42) эквивалентиы с точ• ностью до жесткого смещения контура. В данной главе, как правило, рассмотрены функционалы для задач с этими простыми граничными условиями. В случаях, когда условия (15) охваты. вают несколько различных связных частей контура С (в частиости, при многосвязной области S ) , необходимо учитывать урав. нения, согласующие взаимные смешения различных связных ча• стей. Некоторые из этих случаев рассмотрены в гл. 5. Данное замечание относится и к статическим граничным условиям (43)
1.6. Некоторые соотношения теории пологих оболочек. Теория пологих оболочек является часгным случаем общей теории оболочек при дополнительных к основным гипотезам допущениях.
Геометрическая гипотеза
1, 2
т. е. внутреннюю геометрию оболочки можно приближенно счи• тать совпадающей с геометрией плоскости ее проекции. Это означает также, что в исходных уравнениях приближенно принимается равной нулю гауссова кривязна поверхности bllbu — (Ь апа22 —
Статическая гипотеза. В уравнениях равновесия можно пренебречь моментными членами, содержащими в качестве коэффн• циентов выражения кривизн Ь ав и их производных.
При этих допущениях уравнения теории оболочек упрощаются и принимают следующую форму. Геометрические уравнения:
( ш) Р п ш. (1.48) ар

Статические уравнения:

Соответственно упрощаются уравнения неразрывности (13) 0 с^аус ^Р5 (— VaV$8 + Ь авџ„) 0
и общее решенне уравнений равновесия (29) т^ав (ф) — т ^ав + c^ayc$⁶VyV5Q,

Упрощаются также завнсимости (40) между деформациями граничного элемента и перемещениями
8tt
и выраження (44) для граничных усилий через функции напряжеиии
+ WiBVBQ), — ьвуф)],
Mvv (ф) — — i$t^a — Ьа$ф).
Так как метрика базисной поверхности пологой оболочки считается совпадающей с метрикой плоскости, то пологне оболочки можно рассчитывать в декартовых координатах. В этом случае во всех уравнениях надо положить
дх '
S 2. Различные варианты принципов Лагранжа и Кастильяно — исходные пункты для преобразования вариационных принципов
В качестве исходных пунктов для применения тео• рии преобразования вариационных проблем использованы принцип минимума потенциальной энергии
l l l
(принцип Лагранжа) и принцип максимума дополнительной энергии (принцип Кастильяно), как и
2.1. Различные варианты функционала Лагранжа (табл. 4.1).
а) Функционал Лагранжа в перемещениях и деформациях эл2 (и, е, Р) рассмотрен в S 1.
Этот функционал может быть преобразован в другие разновидности функционала Лагранжа, имеющие различные особенности: путем расширения пространства состояний за счет замены переменных Т^ав (д, д) — Т^ад М^аз (д, д) = М^аз и искусственного введения соответствуюцшх дополнительных условий; путем усечения пространства состояний за счет исключения некоторых переменных. Некоторые из полученных таким путем вариантов функционала Лагранжа (наиболее интересные с точки зрения авторов) представлены в табл. 4.1. Условия стационарности различ. ных вариантов функционала Лагранжа — уравнения равновесия, но в различной форме.
б) Функционал Лагранжа в перемещениях Эл (и) (табл. 4.1) получен из Эл2(и, д, д) путем исключения деформаций дав, дав, с помощью дополнительных условий (1.6), (1.12). Это наиболее распространенная форма функционала Лагранжа, чаще всего применяющаяся в приложениях как при численном, так и при аналитическом решении задач теории оболочек.
Дополнительными условиями являются геометри• ческие граничные ус.ловия, а условиями стационарности — уравнения равновесия и статические граничные условия в перемещениях.
в) Функционал Лагранжа в Деформациях Эле (д, д) . В теории оболочек, как и в теории упругости (гл. З, S 2.1в), возможна формулировка принципа Лагранжа в деформациях, в которой ни функционал, ни дополнительные условия (а значит, и условия стационарности) не содержат перемещений.
В тех случаях, когда геометрические граничные условия заданы на одном связном участке контура С, функционал Элз (д, у) может быть получен нэ
112
эл2 (и, д, д) . Чтобы преобразовать Эл,2 в Элз, нужно
ИСКЛЮЧИТЬ перемещения Ий, Ш ИЗ ЭЛ2 И ИЗ ДОПОЛНИтельных условий к нему. Рассмотрим это преобразование в случаях, когда контур оболочки С состоит из двух связных частей Си и Ст, на которых заданы геометрические и статические граничные условия соответственно.
После исключения перемещений из дополнительных условий (l.l2) они переходят в уравнения неразрывности (1.13); граничные условия в перемещениях (1.15) переходят в деформа• ционные граничные условия (1.42).
В функциоиале Эон (и, 8, У) перемещения содержатся в слагаемом

поверхностного интеграла и в кон гурном ннтеграле, который в рассматриваемом частном случае граничных условий С = Си + Ст имеет вид

Чтобы избавиться от перемещений в слагаемом (1), представим иагрузку q ^a, q в форме
— + + Т (ьамбВ — ьбмва),
(vaV6M2^a + ьадт:^б ),
где Т ^аз м ^ав — какое-либо частное решение неоднородных уравнений равновесия (l.24). Используя (З) н правило дифференцирования произведения, преобразуем q и qw:

из
Подставив (4) в (1), после простых преобразованнй получим


Отсюда видно, что множнтелем при 7' ^ив является (и) (1.6), а множитель при М ^ба есть (и) (1.12). Поверхностный интеграл от остальных слагаемых нужио преобразовать по формуле Грииа (см Приложение 2) в контурный интеграл. В результате
dC. (2.5)
Последнее слагаемое в контурном интеграле можно с помощью равенства

реобразовать к виду

Второй член в (7) содержит производную t ⁰ Vaw от ш по каса• тельной к контуру С. Интегрируя по частям, получим
ш] С. (2.8)
у гол поворота см. (1.3), преобразуем с помощью (0) еще один член в (5):

С помощью (8) н (9) н равенство (5) можно представить в виде
V?oy) dC, (2.10) где е — (М , Т (М ), М (Мо), см. (1.28).
После этих преобразований контурный интеграл в ..ЭЛ2 (и, 8, У) примет вид
— Q2) ив + (Qo — + (Мо — ВО у] аст +

Так как на Си перемещения ии, о и угол поворота известны —и , о — ау , v ^V6 не варьируются, то второй интеграл в (l l) — постоянная, неварьируембя величина и не нуждается в дальнейших преобразованиях.
Чтобы исключить перемещения из первого интеграла в (1 1), воспользуемся общим решением (1.29) уравнений равновесия.
Пусть — какая•либо функция напряжений, для которой усилия и моменты, вычисленные по (1.29), удовлетворяют граничным условиям (1.26). Тогда, согласно (1.44),
+ vat$ (V $9* -l-
- — Qo — tava [V?t$ — b$F*)]'
М — М — ( vaq,a —
Таким образом, величины С С, ф — Q , М — М выраже.
ны через четыре функцин Ми, (Р , , заданные на частн контура Ст, и их производные по касательной к контуру. Подставпв (12) в (l l) и проинтегрировав по частям, получим

где В] и В2 — начало и конец части Ст коитура С. В точках В]
2 Иа — иа, , 6 (и) —6 , так как эти точки принадлежат одиовремеиио и Ст и С .
Заменив в равенствах (10) и (13) еав (Д), (и), х^а (и), х (И), 8tt (И) на 8аз, Дав, х^а (8, Д), Х (8), 8tt (8) соответствеино, получим, с учетом (1 l), функционал Лаграижа в деформациях Элз (е, р) (табл. 4.!), где
А — + S (Си*а + Qoo* + МОО*) dC„,
коистаита А] определеиа в (14).
Функционал Элз (е, д) имеет некоторые особенности по сравнению с Эл (и) и Эл2(и, е, д) в вычислительном отношении, с точки зрения учета граничных условий. Его удобнее применять в случае деформационных граничных условий.
Преобразование Фридрихса (см. гл. 2, S 2.4) переводит Элз (е, р) в функционал Кастильяно эк] (Ч) (табл. 4.2) в функциях напряжений (см. S 2.2в).
г) Функционал Лагранжа в основном пространстве состояний эл4 (и, е, д, Т, М) получается из эл2 (и, д, за счет расширения пространства состояний. Вводятся новые неизвестные— усилия т^тб и моменты М^аю, и соответствующие дополнительные условия— закон Гука
— таз (д, маз — маз (е, д) —0. (2.16)
Эта форма представления функционала Лагранжа в расширенном пространстве удобна для дальнейших преобразований по теории Куранта — Гильберта.
Функционалы Эл, Эл•2 и эл4 имеют отличие по форме и дополнительным условиям к ним. Различия в вычислительном аспекте между ними несущественные. Однако разнообразие форм исходного пункта преобразований приводит к важным особенностям преобразованных функционалов не только по форме, но и в вычислительном отношении и, в частности, в экстремальных свойствах (см. S 5.1).
д) Функционал Лагранжа с неполными полями перемеи{ений и Деформаций эл5 (ш, е) может быть

получен для пологих оболочек из ,9JIl (и). Для этого нужно в Эл (и) заменить выражения дав (и) (1.48) новыми переменными дав и ввести соответствующие дополнительные условия, а затем исключить тангенциальные перемещения из функционала и из до• полнительных условий таким же путем, как это было сделано при выводе Элз (д, д). Исключение и а возможно для пологих оболочек, д.ля которых выражения (и) (1.48) содержат только перемещения ш, а два уравнения равновесия (1.49), в правых частях которых стоят нагрузки С, не зависят от третьего уравнения.
Функционал эл5 (ш, е) может служить исходным пунктом для получения смешанного функционала теории пологих оболочек Эс (ш, ср) (см. S 4).
е) Другие разновидности функционала Лагранжа,
не представленные в табл. 4.1, можно получить из — эл5, заменяя часть переменных д, д, Т, М выражениями д (и), д (и), Т(д, д), М(д, д) или наоборот; например, функционал вида
Л2а
-Я- (и) м^аз (д, џ)] — — qw dS —
S [(Q.a)' + (Q*)' ш + (А1*)' ас
с дополнительными условиями (1.6),
2.2. Различные варианты функционала Кастильяно. а) Функционал Кастильяно в усилиях. Принцип Кастильяно и функционал Экз(М, Т) (табл. 4.2) в теории оболочек хорошо известны. Этот функционал может быть выведен из функционала Лагранжа эл2 (и, д, џ) (табл. 4.1) по следующей схеме (преоб• разование Фридрихса, см. гл. 2, S 2.4) :
множители
(И, д, Эп2 (И, д, Т, ЭК3 (М, Т), (2. 17)
Ла гранжа
— полный функционал Ху — Вашицу
(табл. 4.3). Это позволяет утверждать, что функциопринципы
налы эл2 и Экз имеют одно и то же стационарное значение.
Другие разновидности функционала Кастильяно (табл. 4.2) могут быть получены из Экз(М, Т) с помощью общего решения ( 1.29) уравнейий равновесия (1.24) и замены переменных 8(М, Т) = либо преобразованием Фридрихса из функционалов Лагранжа (таб. ' 4.1 ) .
б) Функционал Касти. ^р ьяно в усилиях и функциях напря.кений Эк2(ф, М, Т) получен из Экз(М, Т) путем замены дополнительных условий в форме уравнений равновесия (1.24) на эквивалентные им зависимости между усилиями и функциями напряжений (1.29). После этой замены эк2 зависит не только от М, Т, но и от Ч. Поверхностный интеграл в Экз(М, Т) путем замены Q^T (M, Т), Q(M) , /Mvv(M) на Q^z (q,), Q6p) , (Ч) (1.44) и интегрирования по частям записан в функциях напряжений (см. аналогичное преобразование в S 2.1 в), с тем чтобы функционал ЭК2(ч, М, Т) имел вид, аналогичный функционалу эл2 (и, д, д)

Функционал Эк2(Ч, М, Т) связан преобразованием Фридрихса (см. гл. 2, S 2.4) с функционалом Лагранжа Элз(е, д).
Функционал эк2 (Ч, М, Т) является промежуточной ступенью при преобразовании Экз (М, Т) в эк] (Ч), который имеет преимущества в вычислительном отношении, заключающиеся в уменьшении количества неизвестных и отсутствии допол нительных условий. В то же время эк2 имеет ббльшие возможности, чем Эм, как исходный пункт для преобразований по теории Куранта — Гильберта, аналогично функционалу Лагранжа эл2 (и, д, ц) .
в) Функционал Кастильяно в функциях напряжений эк] наиболее удобная для расчетов форма. Этот функционал может быть получен из ЭК2(ч, М, Т) путем исключения усилий М, Т: для этого нужно всюду заменить М, Т на их выражения через (1.29). Дополнительные условия в области S оказываются выполненными, остается лишь условие для Ф.
118
Переход от Экз к эк] означает учет дополнитель• ных условий (1.24) с помощью общего решения (1.29) (см. гл. 1, S 2.2).
г) Функционал Кастильяно в квазиосновном пространстве состояний эк4 (Ф, М, Т, д, д). Функционал эк4 (ф, М, Т, р, д) получен из эк2 (ф, М, Т) путем расширения пространства (Ф, М, Т) за счет искусственного введения новых переменных — деформаций д, д— и дополнительных условий
(М, Т) — 0, — (М, (2.18)
(закон Гука (1.23) в обратной форме). В соответствии с замечанием в гл. 2, S 2.1 введение новых переменных и дополнительных условий расширяет возможности для преобразований функционалов Кастильяно в другие полные и частные функционалы.
д) Функционал Кастильяно с неполными полями функций напряжений и усилий ЭК5(ср, М) может быть получен для пологих оболочек из Эм (ф). Для этого нужно в эк] (у) заменить выражения (ф) (1.51) новыми переменными М ^ае и ввести соответствующие дополнительные условия, а затем исключить функции напряжений из функционала и из дополнительных условий. Исключение возможно для пологих оболочек, для которых выражения Т^аВ (ф) не содержат фа.
Функционал эк5 (ср, М), как и ...эл5 (о, д) (см. S 2.1 д), может служить исходным пунктом для получения смешанного функционала теории пологих оболочек Эс(ш, ср) (см. S 4).
е) Другие разновидности функционала Кастильяно, не представленные в табл. 4.2, можно получить из Эм — эк5, заменяя часть переменных М, Т, д, д выражениями МОР), Т (ф), д(М, Т), д(М, Т) или наоборот, например, функционал вида экза (М, Т, д, д) —
+ S [ф (М, Т) (и*а)” + Q (М) (ш*) + (М) ас с дополнительными условиями (18), (1.24), (1.26).
ПОЛНЫЕ