Упругости для неоднородных анизотропных тел 3-bob bir hil bo'lmagan anizotrop jismlar uchun elastiklik nazariyasining variatsion tamoyillari



Download 4,52 Mb.
bet1/10
Sana10.01.2023
Hajmi4,52 Mb.
#898661
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
Bog'liq
AbovskijAndreev


Гл а ва З


ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ
АНИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ
3-bob
BIR HIL BO'LMAGAN ANIZOTROP JISMLAR UCHUN ELASTIKLIK NAZARIYASINING VARIATSION TAMOYILLARI

В этой главе рассматриваются полные и частные функционалы, участвующие в формулировке вариационных принципов трехмерной теории упругости. Соответствующие общие и частные вариационные принципы в различных пространствах состояний содержатся в обобщенных формулировках, приведенных в гл. 2, S 1, и могут быть получены путем конкретизации параметров пространства состояний и дополнительных условий (если они имеются). Функционалы, рассмотренные в данной главе, помещены в таблицах 3.1—3.13 в конце книги.


S 1. Вводные замечания
1.1. Рассматриваемое неоднородное анизотропное упругое те.ло занимает объем V, ограниченный поверхностью S с внешней нормалью п. Всюду в объеме V задан вектор объемных сил F, а на поверхности S заданы некоторые компоненты вектора по• верхностных сил (напряжений) f* и дополнительные компоненты вектора перемещений и*. Будем различать статические и геометрические граничные условия, смотря по тому, будут ли они касатъся поверхностных сил или перемещений. Краткие сведения и пояснения по используемой тензорной форме записи уравнений и функционалов см. в Приложении 2.
Полное решение краевой задачи теории упругости включает построение трех взаимосвязанных полей. Поле Деформаций е представляет собой симметричную часть тензорного поля градиентов перемещений и

2
связано с полем напряжений о законом Гука в прямой (l.2) или обратной (1 .З) форме

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 5]


Поля перемешеннй н напряженнй подчнняются статическим (4) и геометрическим (5) граничным условиям
О ,
О,
где штрих н двойной штрнх соответственно показывают, что равенство относи только к заданным комполентам поверхностных снл и перемещений, так что скалярное произведение равно нулю.
Выражения означают, что скалярное умножение ограничено теми компонентами поверхностных сил или перемещений, которые входят в статические или геометрические граничные условия соответственно.
Поле напряжений должно удовлетворять уравнениям равновесия

Уравнения равновесия (6) имеют общее решение о — 00 + V Х Х Г ,
где — частное решение неоднородного уравнения, а — произвольный симметричный двухвалентный тензор (тензор функций напряжений) с шестью независимыми компонентами [3.10, 3.3,
3.5]. Существуют другие разновидности общего решения (см. S 2.2в).
Зависимости Коши (1) между перемещениями и деформациями являются общим решением уравнений совместности Дефор-
жаииЙ
vxexv—o.
Уравнения (1) и (8) эквивалентны в том смысле, что из существования для данного е вектора и такого, что выполняется (l), следует справедливость (8), а (8) влечет за собой существованне вектора и такого, что выполняется (1). Точно так же зависимости (7) и (6) эквивалентны * ) .
Геометрические граничные условия (5) могут быть заданы в дифференциальной форме— в виде деформационных граничных условий [0.3, 3.8], а статические уравнения на поверхности (4)— в интегральной форме, в функциях напряжений. В этом случае могут быть заданы некоторые компоненты тензоров тангенциаль-
н.ой и изгибной Деформаций поверхности S и дополнительные компоненты тензора функций напряжений.

* ) Строго говоря, утверждение об эквивалентности (l) и (8) справедливо, когда функция и трижды непрерывно дифференцируема, в противном случае уравнение неразрывности (8) усложняется.
62 ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Деформационные граничные условия имеют вид
¯ еав)' хав ( е) — х
где е — заданные компоненты тангенциальных и из гибных деформаций поверхности S в системе координат, нормально связанных с этой поверхностью (см. S 7); здесь х (е) — Гзеар а зр—г е
Деформации е ар' х ар(е) поверхности S упругого тела выра-
жаются через ее перемещения Ии, из точно так же, как деформации е р базисной поверхности оболочки (см. гл. 4, S 1) — ав' ар через ее перемещения Ии, ш. Это нетрудно проверить, если выразить в е (и), х (е) трехмерные ковариантные производные
ар ар через поверхностные.
Деформации еар, хав следует задавать так, чтобы выполня-
лись условия неразрывности поверхности, аналогичные уравнениям неразрывности для оболочек.
Уравнения (9) являются условиями стационарности функционала Кастильяно; выражения для е ар' х ав возникают также при выводе функционала Лагранжа в форме Эл,з (е) [0.3] (см. SS 2.2
Статические граничные условия в функциях напряжений имеют вид
(фав ¯ О, (труб
где — заданные компоненты тензора функций напряжений в системе координат, связанной с поверхностью S, а
заданные производные по нормали к S от этих компонентов (см. табл. 3.2).
Величины фав, связаны с заданными поверхностными f и объемиыми F силами равенством
(Г Х Х Г) • п + 00 • п,
где оэ — частное решение уравнений равновесия (6). Таким образом, для отыскания по заданным /* и F необходимо сначала найти частное решение системы трехмерных уравнений с частными производными (6), а затем — частное решение системы двумерных уравнений (10a).
Следует иметь в виду, что эквивалентность (5) и (9), а также (4) и (10), соблодается с точностью до постоянных интегрирования. Если условия (5) заданы на одной связной части поверхности S, то (5) и (9) эквивалентны с точностью до жесткого смещения. В этом случае заданные тангенциальные и изгиб-

Download 4,52 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish