Упругости для неоднородных анизотропных тел 3-bob bir hil bo'lmagan anizotrop jismlar uchun elastiklik nazariyasining variatsion tamoyillari

sss е • • а • • е + то. . Ь . • 0 —0 . • е dV

(4.1)
являются физические соотношения в прямой и обратной формах. Хотя он и не входит в систему преобразованных функционалов Лагранжа и Кастильяно, но близко к ней примьжает и обладает интересными свойствами с точки зрения стационарности и экстремальности (см. также S 5).
Функционал (1) можно получить из функционалов рассматриваемой системы следующим образом. Из
(табл. 3.5) вычтем функционал Кастильяно
Экз (о) (табл. 3.2) и положим
Эф (о, е) = (е, о) — экз (4.2)
Так как Эфг и Экз имеют одни и те же дополнительные условия— статические уравнения, то естественно считать, что Эф также имеет в качестве дополнительных условий статические уравнения, а в качестве условий стационарности — геометрические и физические. Этот вывод показывает, что стационарное значение Эф (о, е) равно нулю, так как Эф равен разности двух функционалов с одним и тем же стационарным значением, достигающимся в одной и той же точке.
Другой вывод Эф (о, е) состоит в использовании функционала Лагранжа Элз (е) (табл. 3.1) и функционала для физических и статических соотношений Эфс (о, е) (табл. 3.5):
Эф (о, е) = Эш (е) — Эфс (о, е).
Отсюда видно, что дополнительными условиями к Эф можно считать геометрические уравнения, и тогда условия стационарности суть статические и физические соотношения.
Если в качестве дополнительных условий к Эф (о, е)
принять и геометрические, и статические уравнения, то он превратится в разность функционалов Лагранжа и Кастильяно; его условиями стационарности будут и геометрические, и статические уравнения с учетом физических, как это наглядно показано в примере, разобранном в статье [4.3].
Третий путь вывода функционала (1) становится очевидным, если его преобразовать к виду
Эф (о, е) = а) • • ф • • о — е) dV. (4,4)
Эквивалентная запись равенства (4)
Эф (о, е) • (о— е • • а) dV (4.5)
показывает, что использование функционала (1) сводится к одному из вариантов метода наименьших квадратов для решения физических уравнений, так как подынтегральное выражение в (5) является неотрицательно определенной квадратичной формой, принимающей нулевое значение для тех деформаций и напряжений, которые удовлетворяют физическим
уравнениям.
Равенство (4) или (5) (см. замечание 1 в конце данного пункта) показывает, что функционал (1) можно считать не имеющим дополнительных условий; в этом случае его условия стационарности — физические зависимости, задача о его минимуме имеет бесконечное множество решений (о, е) , а для полного решения краевой задачи теории упругости нужно привлекать еще геометрические и статические уравнения в объеме и на поверхности.
Так как функционал (1) неотрицательно определен, а его стационарное значение равно нулю, то это стационарное значение является минимумом. Этот факт может быть полезен для оценки точности приближенных решений (см. гл. 5); при этом функционал
(1) имеет некоторые преимущества по сравнению с функционалами Лагранжа и Кастильяно.

[ГЛ. З

Замечание 1. Функционалы Эф, Эф1, Эф2 обла• дают любопытным свойством: варьирование по некоторым переменным (Эф по о и е, Эф1 по е, Эф2 по о) без выполнения дополнительных условий приводит к физическим уравнениям в прямой (1.2) или обратной (1.3) форме в качестве условий стационарности, т. е. независимое варьирование некоторых переменных не приводит к ошибке.
Замечание 2. В гл. 2, S 2, было показано, как с помощыо усечения пространства состояний преобразуются частные функционалы в полные. Здесь за счет определенного выбора подпространства преобразуются условия стационарности.
Рассмотрим функционал F(lli, и2) с дополнитель• ными условиями (Р(щ, и2) 0, условиями стационарности которого являются уравнения (иь и2) — ф2(щ, и2) = 0. Выберем подпространство, в котором выполняются, например, условия стационарности = О данного функционала.
Так как известно (см. гл. 2, S 2), что точка стационарности функционала F на всем пространстве совпадает с его точкой стационарности, отыскиваемой на этом подпространстве, то для идентификации точки стационарности на подпространстве можно использовать уравнение = О, где производная берется на всем пространстве. Раз мы взяли подпространство, то количество неизвестных уменьшается, соответственно уменьшается количество уравнений в выражении = 0: на данном подпространстве уравнение О является тождеством.
Рассмотрим, например, полный функционал 313 (е, «р) (табл. 3.3). Отыскивая точку его стационарности на подпространстве, состоящем из всех и тех е, которые удовлетворяют уравнению V Х е Х V () и применяя для идентификации точки стационарности условия ДЭ/Де — 0, ДЭ/Дф — 0, получаем уравнение

второе условие стационарности VX е Х V = 0 на данном подпространстве выполняется тождественно. Если для выделения этого подпространства использо• вано общее решениее -5 (Vu+ uV) уравнения V Х е Х
Х V = 0, то уравнение (6) принимает вид

Эта форма физических зависимостей представляется интересной для класса задач, в которых решения статических и геометрических уравнений известны, а все отличия заключены в физических уравнениях (1.2).
4.4. Функционалы граничиых условий. Рассмотрим второй вариант классификации дополнительных условий, накладываемых на полные функционалы для перехода к частным (гл. 2 S 2.3.1): разделение их на уравнения в объеме н на поверхности.
Использование в качестве дополнительных условий уравнений на поверхности тела не приводит к существенным изменениям в структуре функционала. Один из поверхностных интегралов обращается в нуль, а условиями стационарности являются все уравнения в объеме.
Как с точки зрения структуры, так и в вычислительном аспекте (см. гл. 5) представляют интерес функционалы граничных условий, которые получаются из полных, если в список дополнительных условий включить все уравнения в объеме. Ус.ловиями стационарности полученных таким путем функционалов являются граничные условия — статические, или геометрические, или и те и другие. В табл. 3.5 представлено шесть наиболее характерных представителей обширного семейства функционалов граничных условий.
а) Функционал граничных условий Эг (и, о) в перемещениях и напряжениях. Может быть выведен из Э*пз (и, о) (табл. 3.4), или из (и, е, о), или из Эл4а (и, е, о) (табл. 3.3) путем наложения всех условий стационарности в объеме V в качестве дополнительных условий и исключения (из Эп2 и Эп4а) переменной е. Условия стационарности эг — геометри-

[ГЛ. З

ческие граничные условия в перемещениях и статические— в деформациях.
б) Функционал (и) для статических граничных условий в перемещениях. Этот функционал можно вывести из Эп1 (и, f), Эп2 (и, е, о), Эп4а (и, е, о) (табл. 3.3) или из Э*пз (о, и) (табл. 3.4), наложив все уравнения в объеме V и геометрические граничные условия в перемещениях на поверхности S в качестве дополнительных условий и исключив все переменные, кроме и. Условия стационарности — статические граничные условия в перемещениях.
в) Функционал Эг2 (о) для геометрических (Деформационных) граничных условий. Выводится из Э*пз (о, и) и других полных функционалов путем наложения в качестве дополнительных условий всех условий стационарности в объеме V и статических граничных условий на поверхности S и исключения из функционала и дополнительных условий всех переменных, кроме о. Условия стационарности Эг2 — деформационные граничные условия, выраженные в напряжениях.
г) Функционал граничных условий (Т, е) в функциях напряжений и Деформациях. Может быть получен из полных функционалов, зависящих от переменных и е: (табл. 3.3), Э*п2 (ф, о, е) (табл. 3.4) и др. Дополнительные условия— уравнения неразрывности в деформациях и зависимости между деформациями и функциями напряжений (в качестве статических и физических уравнений) в объеме У. Условия стационарности — статические граничные условия, выраженные в функциях напряжений, и деформационные граничные условия.
д) Функционал «Г) для геометрических (Деформационных) граничных условий в функциях напряжений. Может быть выведен из Э*п] (с, еа , х (табл. 3.4) и других полных функционалов, содержащих переменную W. Дополнительные условия: уравнения неразрывности и статические граничные условия в функциях напряжений. Условия стационарности — деформационные граничные условия в функциях напряжений.
е) Функционал Э*г2 (е) для статических граничных условий в Деформациях. Его можно вывести из Эп2(и, е,о) и других полных функционалов, содержащих переменную е. Дополнительные условия: уравнения неразрывности равновесия в деформациях в объеме тела и деформационные граничные условия на его поверхности. Условия стационарности— статические граничные условия, выраженные в деформациях.
Используя функционалы для деформациоиных граничных условий, следует иметь в виду ограничения на поверхностные условия при наличии иескольких связных участков поверхности с заданными перемещениями или напряжениями, см. S 1
4.5. Смешаниые функционалы с неполными полями перемещений и функций напряжений могут быть выведены из соответствующих полных функционалов в декартовой и некоторых других системах координат. В табл. 3.5 представлено два таких функционала: Эн! (иу, фа) И Эн2(из, фа, О, полученных ИЗ ПОЛНЫХ функционалов Эп5 и Эп6 с использованием общих решений (7) и (8) уравнения равновесия Vi0i3 + F3 = 0 и системы двух уравнений Vi0ia + Fa 0 соответственно:
аз 33(4.7)
аз
+ V2V2W о = 0⁰22 +
(4.8) О12 — 072—VlV2Q, ов— 073 + 023 о;з + V2Ql)2.
Дополнительными условиями к этим функционалам служат геометрические граничные условия для тех компонентов перемещений и статические — для тех компонентов функций напряжений, которые являются их аргументами. Условия стационарности — уравнения смешанного метода теории упругости [3.2] и соответствующие граничные условия.

S 5. Экстремальные свойства полных и частных функционалов теории упругости
В соответствии с теорией (гл. 2, S З) здесь приведено исследование экстремальных свойств для некоторых характерных функционалов. С этой целью используются свойства выпуклости (см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно и невыпуклости других. Результаты для этих и других полученных в SS 2, З, 4 функционалов представлены в табл. 3.6.
5.1. Выпуклость различных вариантов функционала Лагранжа и их экстремальность. В качестве характерного примера докажем, что функционал эл2 (и, е) (табл. 3.1)— выпуклый вниз. На основании определения выпуклости (Приложение 1) нужно показать, что для любого числа ос такого, что 0 ос 1, и любых щ, а, и2, е2 неотрицательна разность R (щ, ев Ч, ф) = аЭЛ2 (щ, е!) + (1 — а) эл2 (щ, ф) —

— а) и2, 0tei Учитывая, что

(1 — а)

(5.1)

a^2q • • а • • а +2а(1 — а)	• а •
+ (1 — ау •		ф,	(5.2)

эту разность можно преобразовать:
dV. (5.3)
Так как е • •а• положительно определенная квадратичная форма и 1, то R и функционал эл2 (и, е)— выпуклый вниз.
Аналогично можно доказать, что функционалы эл} (и), Элз эл5, Элв (табл. 3.1) ВЫПУКЛЫ вниз. Функционал эл4 (и, е, о) не выпуклый ни вннз, ни вверх. Для доказательства этого утверждения доста•
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИОНАЛОВ
точно взять любые щ, и е 02
• •а. В этом случае разность (1) равна
• . + (1 — а) 02 • • — — [a01 Ч- (1 — а) 02] •