Umumlashgan funksiyalar va ularning tatbiqlari fanidan

Misol. funksiyani qaraymiz. Anglash qiyin emaski, bu funksiyaning nolga aylanadigan nuqtalar to’plami . U holda (1.5) ga ko’ra supp .
Ta’rif. Agar umumlashgan n - o’zgaruvchili funksiyaning tashuvchisi chegaralangan bo’lsa, u fazoda finit deyiladi.

14

II Bob.

Volterraning birinchi va ikkinchi tur integral tenglamalarini umumlashgan funksiyalar sinfida yechish
2.1§ Integral tenglamalar va ularning umumiy ko’rinishi.
Matematik fizikaning ko’plab muammolari, noma’lum funksiyani integral ostida taqqoslashga keltiriladi. Bunday tenglamalar integrallanuvchi tenglamalar deyiladi. Masalan quyidagi
(2.1)
bo’lganda shartlarni qanoatlantiruvchi birinchi tartibli differensial tenglamaga mos integral tenglama:
(2.2)
bu yerda integral belgisi ostidagi funksiya hisoblanadi. Umuman olganda, bu funksiya tenglamani chiziqli bo'lmagan tarzda kiritadi, shuning uchun tenglama chiziqli bo'lmagan integral tenglama deyiladi.
Agar funksiya bo’yicha chiziqli bo’lsa, u holda (2.2) tenglama chiziqli integral tenglama deyiladi. Chiziqli integral tenglamalarga misol sifatida Volterra birinchi tur integral tenglamasini keltiramiz
(2.3)
shuningdek Volterra ikkinchi tur integral tenglamasini ham keltirib o’tamiz
(2.4)
funksiyalar mos ravishda yadro va integral tenglamaning erkin qismi hisoblanadi. noma’lum funksiya, -haqiqiy yoki kompleks parameter.
Etirof etish mumkinki bunda, funksiyalar lokal integrallanuvchi da yadro nolga teng.
15
Agar funksiya nolga teng bo’lsa, u holda (2.3) va (2.4) tenglamalar bir jinsli deyiladi.
Volterra tenglamalarida deb qarasak u holda yadroning maxsus ko’rinishiga, yani ga ega bo’lamiz.
Bunday holatda quyidagicha yozish mumkin,
(2.3.1)
(2.3.2)
funksiyalarni nol qiymatlari bo’yicha kengaytiramiz (bunda ) va umumlashgan funksiyalarini kiritamiz. Keyin yuqorida ko'rib chiqilgan integral tenglamalarni o’tkazish operatsiyasi (svertka) yordamida quyidagicha yozish mumkin:
(2.3.1a)
(2.3.2a)
Belgilash joizki, bunda , shuningdek (2.3.1) Volterraning birinchi tur integrali algebraik o’tkazish operatsiyasi yordamida (2.3.1a) ko’rinishga o’tadi.
(2.3.1a) tenglama har doim ham yechimga ega emas. Masalan, yadroni davom ettirilsa funksiyalar sinfiga o’tadi, bunda yechimga ega bo’lmaydi. Haqiqatdan ham, har qanday umumlashgan funksiya o’tkazish, cheksiz differensiallanuvchi funksiya bo’ladi. Shuningdek o’tishda cheksiz differensiallanuvchi lekin bilan mos tushmaydi.
Endi Volterraning ikkinchi tur integralining umumlashgan funksiyalarda qarab chiqamiz:
(2.3.3)
16
Bir nechta lar uchun
(2.3.4)
ko’rinishda yozish mumkin.