Umumlashgan funksiyalar va ularning tatbiqlari fanidan

Ta’rif. Quyidagi shartlar bajarilsin:
1) shunday kesma topilib, ixtiyoriy sonlar uchun
kesmadan tashqarida ;
2) ixtiyoriy sonlar va ixtiyoriy tayin nuqtalar uchun,
da ushbu ketma-ketliklar tekis yaqinlashadi.
U holda ketma-ketlik da funksiyaga yaqinlashadi deyiladi.
Misol. Ushbu

funksiyalar ketma-ketligi nolga yaqinlashadi, shuning bilan birgalikda

funksiyalar ketma-ketligi (asosiy funksiyalar) ma’nosida yaqinlashuvchi emas.
Yuqoridagi ta’rifga o’xshash ravishda, ; D(Ω) fazolarda ham yaqinlashish ta’riflari kiritiladi. Bunda - n o’lchovli haqiqiy sonli evklid fazo va Ω- unda biror soha.
Ta’rif. (Uzluksiz funksiyaning tashuvchisi). Uzluksiz funksiyaning
tashuvchisi deb, ushbu

to’plamga aytiladi.
Uzluksiz funksiyaning tashuvchisi tushunchasidan foydalanib, da
yaqinlashish tushunchasini quyidagicha berish ham mumkin.
Ta’rif. ( ma’nosida yaqinlashish). Agar
7
1) shunday son topilib, ixtiyoriy soni uchun munosabat bajarilsa;
2) ixtiyoriy son uchun funksiyalar ketma-ketligi da
ga tekis yaqinlashsa ( - ning p tartibli hosilasi), u holda
asosiy funksiyalar ketma-ketligi n da ga D ma’nosida yaqinlashuvchi
deyiladi va qisqacha tarzda quyidagicha belgilanadi:

Aynan noldan farqli asosiy funksiyalar mavjudmi, degan savol tug’iladi.
Biz yuqorida ko’rgan (1) "shapkacha"


funksiyasi asosiy funksiyaga misol bo’la oladi. Haqiqatan ham, uning finitligi
berilishidan ayon va . Cheksiz uzluksiz differensiallanuvchi ekanligini ko’rsatamiz. Ravshanki, bu funksiya nuqtalardan tashqari barcha nuqtalarda cheksiz differensiallanuvchi bo’ladi. Ixtiyoriy bir tomonlama da o’ngdan va da chapdan hosilalari nolga teng ekanligiga ishonch hosil qilish uchun deb belgilab,

funksiyaning y = 0 nuqtadagi barcha tartibli hosilalarining nolga teng bo’lishini ko’rsatamiz. Haqiqatan ham, y 0 da hosilalarni hisoblaymiz:

8

umuman,

ga nisbatan ko’phad:

bu yerda ga bog’liq koeffitsientlar.
Quyidagi limitni hisoblab,

bo’lishini ko’rish qiyin emas ( da nolga tez yaqinlashadi)

tenglikdan funksiyaning nuqtada uzluksizligi va yuqoridagilarga
asosan bu nuqtada differensiallanuvchanligi hamda ekanligi kelib
chiqadi. Shunday qilib, funksiya nuqtada uzluksizdir. Xuddi shunga
o’xshash funksiya uchun yuqoridagi mulohazalarni takrorlab,
nuqtada ning mavjud ekanligi va hamda ning
da uzluksiz ekanligiga ega bo’lamiz. Bu jarayonni davom ettirib, ixtiyoriy
n = 1, 2, , , , lar uchun funksiya yuqoridagi xossalarga ega bo’lishiga
ishonch hosil qilish mumkin. Demak,
ekanligidan funksiyaning finitligi va, umuman, kelib chiqadi.

9