Uliwma texnika

Ózgeriwshilerdi almastırıw formulası. Meyli bolsın. Bunda

integral bar boladı.
Bunnan funktsiya da dáslepki funktsiyaǵa iye bolıp,

boladı.
Meyli anıq integralda ózgeriwshi bul

formula menen almastırıp bolıp, funktsiya tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın:
1) bolıp, funktsiyanıń barlıq mánisleri ǵa tiyisli;
2) ;
3) funktsiya da úzliksiz tuwındıǵa iye bolsın.
Bul jaǵdayda
(2)
boladı.
◄ Bunnan, quramalı funktsiya segmentte úzliksiz bolıp,

boladı.
Eger ekenin itibarǵa alsak, onda

boladı. Onda funktsiya da funktsiyanıń dáslepki funktsiyası ekenin bildiredi. Nyuton-Leybnits formulasına muwapıq
(3 )
boladı.
(2) hám (3) qatnaslardan
(4)
kelip shıǵadı. ►
(4) formula anıq integralda ózgeriwshini almastırıw formulası delinedi.
Bóleklep integrallaw formulası. Meyli hám funktsiyalardıń hár biri segmentte úzliksiz hám tuwındılarǵa iye bolsın. Bunda
(5)
boladı.
◄ Tuwındını esaplaw formulasına muwapıq

boladı. Demek, funktsiya aralıqta funktsiyanıń dáslepki funktsiyası boladı. Nyuton-Leybnits formulasınan paydalanıp tabamız:
.
Keyingi teńlikten

boladı. ►
(5) formula anıq integrallarda bóleklep integrallaw formulası delinedi.
Vallis formulası. Bizge belgili, bolǵanda

teńsizlikler orınlı boladı. Bul teńsizliklerdi aralıq boyınsha integrallap,

soń 4⁰ da keltirilgen formulalardan paydalanıp tabamız:

Bul teńsizliklerden

kelip shıǵadı.
Keyingi teńsizliklerden tómendegi tabamız:
. (6)
(6) formula Vallis formulası delinedi.