Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

 
11.2. Задача о двойном математическом маятнике 
В лагранжевой механике для описания системы исполь-
зуются обобщенные координаты и обобщенные скорости. В 
нашем случае в качестве таких переменных можно взять уг-
лы отклонения маятников α
1
, α
2
и их угловые скорости 
̇
1
, 
̇
2
. 
Используя указанные переменные, построим лагранжиан 
двойного маятника и запишем дифференциальные уравнения 
Лагранжа. Упрощенная модель двойного маятника показана 
на рисунке 2. Будем считать стержни невесомыми. Их длины 
равны l
1
и l
2
. Массы точечных тел (они представлены шарами 
конечного радиуса) составляют m
1
и m
2
. В точках подвеса 
(шарнирах) трение отсутствует.

---

228 
Рис. 2. Упрощенная модель 
двойного маятника 
Рис. 3. Зависимость частот ω
1
, 
ω
2
от параметра μ 
Введем систему координат Oxy, начало которой совпа-
дает с точкой подвеса O. Координаты маятников определя-
ются следующими соотношениями: 
, 
. 
Кинетическая и потенциальная энергия маятников (со-
ответственно T и V) выражаются формулами
T =
( 
̇
̇ )
( 
̇
̇ )
 
Тогда лагранжиан записывается в виде
L = T-V = T
1
+T
2
-(V
1
+V
2
) =
( 
̇
̇ )
( 
̇
̇ )
. 
С учетом того, что 
̇ = l
1 
̇ ,
̇ l
1 
̇ + l
2
̇ , 
̇
̇ ,
̇ =
̇
̇
̇
. 
Следовательно,

---

229 
Т
1 
= 
( 
̇
̇ )
( 
̇
̇
)
̇
Т
2 
= 
( 
̇
̇ )
̇
̇
̇
̇
* 
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
+
* 
̇
̇
̇
̇
+
V
1 
= m
1 
g y
1 
= 
m
1 
g l
1 
, 
V
2 
= m
2 
g y
2 
= 
m
2 
g (l
1
+l
2
). 
В результате лагранжиан системы принимает такой вид:
L = T
V = T
1
+T
2
(V
1
+V
2
) = 
=
̇
̇
̇
̇
+
g
+
g 
, 
где 
m
1
+m
2
. 
Для данной задачи уравнения Лагранжа запишем в виде:
̇
Входящие в эти уравнения частные производные выра-
жаются следующими формулами:
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
̇
Следовательно, первое уравнение Лагранжа записыва-
ется как

---

230 
̇
̇
̇
̇

̈
̈
̇
̇
̇ + 
̇
̇

̈
̈
̇
̇
̇
̇
̇

̈
̈
̇
Сокращая на l
1
≠ 0, получаем:
̈
̈
+ 
̇
+
g
. 
Аналогично выведем второе дифференциальное уравне-
ние:
̇
̇
̇
̇

̈
̈
̇
̇
̇
̇
̇

̈
̈
̇
̇
̇

---

231 
̇
̇

̈
̈
̇
После сокращения на m
2
l
2
≠ 0 уравнение принимает та-
кой вид: 
̈ +
̈
̇
+ g
Таким образом, нелинейная система двух дифференци-
альных уравнений Лагранжа записывается как 
{
̈
̈
̇
̈
̈
̇
Если считать углы α
1
(t), α
2
(t) малыми, то колебания ма-
ятников вблизи нулевого положения равновесия можно опи-
сать линейной системой уравнений. Чтобы получить такую 
систему, вернемся назад к исходному лагранжиану системы:
L=T
V=
̇
̇
/2+
̇
̇
+ 
+
g 
Запишем этот лагранжиан в более простом виде. Разло-
жим косинусы, входящие в него, в ряд Маклорена и сохра-
ним лишь линейные и квадратичные члены:
С учетом малости величин
произведения
̇
̇ и квад-
ратов величин углов α
1
, α
2
в разложении косинусов, можно 
ограничиться линейным слагаемыми. Подставляя это в ис-
ходный лагранжиан и учитывая, что потенциальная энергия 
определяется с точностью до константы, получим лагранжи-
ан двойного маятника в виде:

---

232 
L=T
V= 
̇
̇
+
̇
̇
g 
/2+
Выведем дифференциальные уравнения Лагранжа для 
данного лагранжиана, которые записываются в таком виде:
̇
, 
̇
. 
После нахождения частных производных и несложных 
преобразований получаем систему двух дифференциальных 
уравнений Лагранжа:
{
̇
̇
̇
̇
или
{
̈
̈
̈
̈
Данную систему уравнений можно записать в компакт-
ной матричной форме. Введем матрицы 
(
) (
), 
(
) ( 
)
Тогда система дифференциальных уравнений представ-
ляется в виде
M
̈
В случае одного тела такое уравнение описывает сво-
бодные незатухающие колебания с определенной частотой. В 
случае двойного маятника решение будет содержать колеба-
ния с двумя характерными частотами, которые называются 

---

233