225
Кроме того,
.
Подставляя все эти величины в уравнение (11.17) и заменяя ω
его значением (11.3), получим:
√
√
.
(11.19)
По принятым начальным условиям (11.15) при
t=0 угол
φ=0, а, следовательно, как видно из (11.18), и α=0. Тогда, бе-
ря от обеих частей уравнения (11.19) определѐнные интегра-
лы справа от 0 до
t, а слева от 0 до α, получим закон движе-
ния маятника в виде
∫
√
√
.
(11.20)
Интеграл, стоящий в левой части равенства (11.20),
представляет собой
эллиптический интеграл первого рода.
Величина
k называется модулем эллиптического интеграла.
Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля, т.е.
∫
√
.
(11.21)
Если в равенстве (11.21) рассматривать верхний предел
a как функцию от интеграла
u, то такая функция носит назва-
ние амплитуды
u и обозначается так:
, или .
(11.22)
Беря от обеих частей равенства (11.22) синус, мы полу-
чим:
.
(11.23)
Функция sn
u (синус-амплитуда
u)
представляет собой
так называемую
эллиптическую функцию Якоби.
Поскольку,
согласно уравнению (11.20),
u=
√
, то, переходя в равенстве
226
(11.23) от α к φ с помощью формулы (11.18), найдѐм закон
движения маятника, выраженный
эллиптическую функцию
sn, в виде
√
.
(11.24)
11.1.4. Период колебаний математического маятника в
общем случае
Найдѐм период
T колебания маятника. Из положения
φ = 0 в положение φ = φ
0
маятник приходит за четверть пери-
ода. Так как, согласно равенству (11.18), при φ = 0 и
= 0, а
при φ = φ
0
величина
, то из уравнения (11.20) имеем:
√
∫
√
.
(11.25)
Таким образом, определение
периода колебаний маят-
ника сводится к вычислению величины
∫
√
(
) ,
(11.26)
представляющий собой четверть периода эллиптического ин-
теграла (11.21).
Известно (формула Валлиса), что
∫
.
(11.27)
Разлагая в выражении (11.26) подынтегральную функ-
цию в ряд, получим:
√
.
Тогда, используя формулу (11.27), будем иметь:
∫
√
[ (
)
]
(11.28)
Подставляя это значение K в равенство (11.25) и учитывая, что
227
, получим для периода колебаний плоского матема-
тического маятника
выражение
T=2
𝜋√
[ (
)
]. (11.29)
Следовательно, чем больше φ
0
(угол размаха), тем
больше период колебания маятника. Таким образом, матема-
тический маятник свойством изохронности не обладает. Если
при малых размерах ограничиться в формуле (11.29) только
двумя первыми членами, то, полагая
,
получим
приближѐнное выражение периода
T
2𝜋√
.
(11.30)
Таким образом, получено уравнение простого гармони-
ческого колебания, закон движения для малых колебаний, за-
кон движения маятника
через эллиптическую функцию, а
также выражение для периода колебаний маятника.
Do'stlaringiz bilan baham: