|
7.4. Принцип Даламбера
В задачах на несвободное движение тела неизвестными
могут быть ускорения тел, натяжения нитей, реакции осей
блоков, подшипников и т.п. (например, в задачах о двух гру-
зах, соединенных нитью, перекинутой через блок). Комбини-
руя приемы и используя различные теоремы и законы дина-
мики, можно определить вообще все неизвестные величины.
Однако это более сложный путь. Даламбер указал более эф-
фективный метод, применимый для решения всех задач на
несвободное движение. Зная движение системы, по принципу
Даламбера легко определить реакции внешних связей (при
этом неизвестные внутренние силы исключаются); можно
находить также и реакции внутренних связей, если выделять
и рассматривать отдельные части системы; можно составлять
дифференциальные уравнения движения и т.д.
Принцип Даламбера. Уравнение движения точки m
k
отно-
сительно инерциальной системы отсчета представим в виде
159
⃗
k
⃗⃗⃗
k
k
⃗⃗⃗
k
(7.11)
где
⃗
k
– активная сила, приложенная к точке m
k
;
⃗⃗⃗
k
– пассив-
ная сила. Вектор –
k
⃗⃗⃗
k
называется силой инерции Даламбе-
ра частицы m
k
. Подчеркнем, что по отношению к инерциаль-
ной системе отсчета изменение скорости точки m
k
происхо-
дит под влиянием активных сил
⃗
k
и связей (пассивных сил
⃗⃗⃗
k
), но не «сил инерции Даламбера». В этом смысле «силы
инерции Даламбера» фиктивные, а само понятие условное.
Равенство (7.11) выражает так называемый принцип Далам-
бера: в каждый момент времени для любой точки механиче-
ской системы нулю равна геометрическая сумма активной
силы, реакции связи и силы инерции Даламбера.
Если в любой момент времени систему и связи остано-
вить и ко всем точкам
k
приложить активные силы
⃗
k
, реак-
ции связи
⃗⃗⃗
k
и силы инерции
⃗⃗⃗⃗
k
k
⃗⃗⃗
k
, то система будет
пребывать в покое. Говорят поэтому, что упомянутые силы
уравновешены.
Следствием применения принципа является утвержде-
ние: в каждый момент движения нулю равна геометрическая
сумма (главный вектор) активных сил, реакцией связей и сил
инерции системы, а также сумма моментов (главный момент)
этих сил:
∑ ⃗
k
∑
⃗⃗⃗
k
∑
⃗⃗⃗⃗
k
(7.12)
∑
̅
o
⃗
k
∑
̅
o
⃗⃗⃗
k
∑
⃗⃗⃗
o
⃗⃗⃗⃗
k
.
Эти уравнения можно отнести к мысленно остановлен-
ной системе, поэтому в качестве центра О, относительно ко-
торого берутся моменты сил, можно взять произвольную не-
подвижную точку. Нулю равна и сумма моментов этих сил
относительно произвольной неподвижной оси (до «останов-
160
ки» системы точка и ось могли перемещаться). Применим
уравнения (7.12) к случаю, когда твердое тело совершает
плоскопараллельное движение. Уравнения движения центра
масс тела и уравнения вращения тела вокруг оси С
z
, прохо-
дящей через центр масс перпендикулярно плоскости движе-
ния, имеют вид
⃗⃗⃗
c
∑ ⃗
k
∑ ⃗⃗⃗
k
(7.13)
cz
∑
cz
⃗
k
∑
cz
⃗⃗⃗
k
Отметим, что уравнение вращения тела относительно
поступательно движущейся системы центра масс записыва-
ется так же, как уравнение относительно инерциальной си-
стемы). С другой стороны, для остановленного тела справед-
ливы равенства (7.12)
∑ ⃗
k
∑ ⃗⃗⃗
k
∑
⃗⃗⃗⃗
k
∑
cz
⃗
k
∑
cz
⃗⃗⃗
k
∑
cz
⃗⃗⃗⃗
k
,
(7.14)
где сумма моментов взята относительно оси Сz, прохо-
дящей через центр масс перпендикулярно плоскости движе-
ния (нулю равняется сумма моментов сил относительно оси
Сz).
Сравнивая уравнения (62.4) и (62.3), получаем
∑
⃗⃗⃗⃗
k
⃗⃗⃗
c
∑
cz
⃗⃗⃗⃗
k
cz
(7.15)
Таким образом, 1) главный вектор даламберовых сил
инерции тела равен силе инерции его центра масс, в предпо-
ложении, что в нем сосредоточена масса всего тела, 2) при
плоскопараллельном движении тела сумма моментов далам-
беровых сил инерции относительно центральной оси, пер-
пендикулярной плоскости движения, равна –
cz
,
т.е. равна
произведению момента инерции тела относительной цен-
тральной оси Сz на угловое ускорение тела со знаком минус.
161
Первое следствие справедливо для любого движения.
Если тело имеет плоскость материальной симметрии
Сxy, перпендикулярную оси Cz, то как следствие при плоско-
параллельном движении (параллельно плоскости Cxy; С –
центр масс) к уравнениям (7.15) добавляются два очевидных
уравнения: ∑
Cx
⃗⃗⃗⃗
k
∑
Cy
⃗⃗⃗⃗
k
В заключение подчеркнем, что силы инерции Даламбера
⃗⃗⃗⃗
k
k
⃗⃗⃗
k
вводятся при рассмотрении движения относи-
тельно инерциальной системы отсчета. Добавление к дей-
ствующим силам сил инерции Даламбера следует рассмат-
ривать как методический прием, который сводит изучение
движения к рассмотрению равновесия (в любой момент
движения).
Do'stlaringiz bilan baham: |
