Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

 
7.6. Уравнения Лагранжа в независимых координатах 
Механическая система может состоять из произвольно 
большого числа частиц или тел и вместе с тем обладать не-
большим числом степеней свободы. Например, кривошипно-
шатунный механизм (кривошип- шатун- шток- поршень в ци-
линдре) обладает лишь одной степенью свободы; уравнение 
движения механизма можно определить законом вращения 
одного только кривошипа: 
угол поворота криво-
шипа (обобщенная координата). 
Выведем дифференциальные уравнения движения голо-
номной механической системы в независимых координатах. 

---

164 
Вывод уравнений движения голономной механической си-
стемы в независимых координатах – уравнений Лагранжа 
второго рода состоит в преобразовании общего уравнения 
динамики, выражающего принцип Даламбера – Лагранжа к 
независимым координатам. Разбиваем исходное уравнение на 
два слагаемых. Первое слагаемое – работа активных сил на 
виртуальном перемещении – заменяется суммой ∑
i
i
. 
Второе слагаемое преобразуется с учетом зависимостей 
⃗
k
⃗
k
1
n
, которые можно рассматривать как уравнения 
связей в параметрической форме, поскольку 
1
2
n
неза-
висимы. В результате преобразований получим уравнение, 
которое распадается на систему n отдельных уравнений, по-
скольку 
1
2
n 
произвольны. 
Таким образом, если 
1
2
n
̇
1
̇
2
̇
n
 
кинетическая энергия системы, а 
1
1
2
2
n
n
 
работа приложенных к системе активных сил на 
произвольном виртуальном перемещении 
1
, 
2
,…,
n
, где 
,
1
,…, 
n
– известные функции от 
̇
1
̇
2
̇
n
, 
1
2
n
,
(в силу того, что система задана), то уравнения 
движения системы имеют вид 
̇ 
i 
,
(7.19) 
Интегрированием уравнений Лагранжа определяем 
функции 
i
это позволяет найти радиус-
векторы точек системы 
⃗
k
⃗
k
а затем и ⃗
k
⃗̇
k
, 
⃗⃗⃗
k
⃗̈
k
и 
⃗
k
⃗
k
⃗
k
⃗
k
После этого можно определить и 
реакции связей. 

---

165